Найдите четырёхзначное число, которое в 3 раза меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Чтобы найти четырёхзначное число, которое в три раза меньше куба некоторого натурального числа, давайте обозначим искомое число как \(N\), а натуральное число как \(x\). Согласно условию задачи, у нас есть следующее равенство: \[ N = \frac{1}{3} x^3 \] Поскольку \(N\) должно быть четырёхзначным, это означает, что: \[ 1000 \leq N < 10000 \] Теперь подставим выражение для \(N\) в неравенства: \[ 1000 \leq \frac{1}{3} x^3 < 10000 \] Умножим все части неравенства на 3, чтобы избавиться от дроби: \[ 3000 \leq x^3 < 30000 \] Теперь давайте найдем границы для \(x\). Чтобы найти значение \(x\), необходимо извлечь кубический корень из границ: 1. Для нижней границы: \[ x \geq \sqrt[3]{3000} \] 2. Для верхней границы: \[ x < \sqrt[3]{30000} \] Теперь вычислим эти корни: - Кубический корень из \(3000\) примерно равен \(14.42\) (так как \(14^3 = 2744\) и \(15^3 = 3375\)). - Кубический корень из \(30000\) примерно равен \(31.62\) (так как \(31^3 = 29791\) и \(32^3 = 32768\)). Это значит, что \(x\) должен быть натуральным числом в диапазоне: \[ 15 \leq x \leq 31 \] Теперь подберем значения для \(x\) от \(15\) до \(31\) и найдем соответствующие числовые значения для \(N\): - При \(x = 15\): \[ N = \frac{1}{3} \cdot 15^3 = \frac{1}{3} \cdot 3375 = 1125 \] - При \(x = 16\): \[ N = \frac{1}{3} \cdot 16^3 = \frac{1}{3} \cdot 4096 = 1365.33 \quad (\text{неподходящее, т.к. не целое число}) \] - При \(x = 17\): \[ N = \frac{1}{3} \cdot 17^3 = \frac{1}{3} \cdot 4913 = 1637.67 \quad (\text{неподходящее, т.к. не целое число}) \] - При \(x = 18\): \[ N = \frac{1}{3} \cdot 18^3 = \frac{1}{3} \cdot 5832 = 1944 \] - При \(x = 19\): \[ N = \frac{1}{3} \cdot 19^3 = \frac{1}{3} \cdot 6859 = 2286.33 \quad (\text{неподходящее, т.к. не целое число}) \] - При \(x = 20\): \[ N = \frac{1}{3} \cdot 20^3 = \frac{1}{3} \cdot 8000 = 2666.67 \quad (\text{неподходящее, т.к. не целое число}) \] - При \(x = 21\): \[ N = \frac{1}{3} \cdot 21^3 = \frac{1}{3} \cdot 9261 = 3087 \] - При \(x = 22\): \[ N = \frac{1}{3} \cdot 22^3 = \frac{1}{3} \cdot 10648 = 3549.33 \quad (\text{неподходящее, т.к. не целое число}) \] - При \(x = 23\): \[ N = \frac{1}{3} \cdot 23^3 = \frac{1}{3} \cdot 12167 = 4055.67 \quad (\text{неподходящее, т.к. не целое число}) \] - При \(x = 24\): \[ N = \frac{1}{3} \cdot 24^3 = \frac{1}{3} \cdot 13824 = 4608 \] - При \(x = 25\): \[ N = \frac{1}{3} \cdot 25^3 = \frac{1}{3} \cdot 15625 = 5208.33 \quad (\text{неподходящее, т.к. не целое число}) \] - При \(x = 26\): \[ N = \frac{1}{3} \cdot 26^3 = \frac{1}{3} \cdot 17576 = 5858.67 \quad (\text{неподходящее, т.к. не целое число}) \] - При \(x = 27\): \[ N = \frac{1}{3} \cdot 27^3 = \frac{1}{3} \cdot 19683 = 6561 \] - При \(x = 28\): \[ N = \frac{1}{3} \cdot 28^3 = \frac{1}{3} \cdot 21952 = 7317.33 \quad (\text{неподходящее, т.к. не целое число}) \] - При \(x = 29\): \[ N = \frac{1}{3} \cdot 29^3 = \frac{1}{3} \cdot 24389 = 8129.67 \quad (\text{неподходящее, т.к. не целое число}) \] - При \(x = 30\): \[ N = \frac{1}{3} \cdot 30^3 = \frac{1}{3} \cdot 27000 = 9000 \] Таким образом, у нас есть несколько четырёхзначных чисел (\(1125\), \(1944\), \(3087\), \(4608\), \(6561\), \(9000\)). Одно из решений: \[ \boxed{6561} \] Это значение удовлетворяет всем условиям задачи.