Найдите четырёхзначное число, которое в 3 раза меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Чтобы найти четырёхзначное число, которое в три раза меньше куба некоторого натурального числа, давайте обозначим искомое число как \(N\), а натуральное число как \(x\).
Согласно условию задачи, у нас есть следующее равенство:
\[ N = \frac{1}{3} x^3 \]
Поскольку \(N\) должно быть четырёхзначным, это означает, что:
\[ 1000 \leq N < 10000 \]
Теперь подставим выражение для \(N\) в неравенства:
\[ 1000 \leq \frac{1}{3} x^3 < 10000 \]
Умножим все части неравенства на 3, чтобы избавиться от дроби:
\[ 3000 \leq x^3 < 30000 \]
Теперь давайте найдем границы для \(x\). Чтобы найти значение \(x\), необходимо извлечь кубический корень из границ:
- Для нижней границы:
\[ x \geq \sqrt[3]{3000} \]
- Для верхней границы:
\[ x < \sqrt[3]{30000} \]
Теперь вычислим эти корни:
- Кубический корень из \(3000\) примерно равен \(14.42\) (так как \(14^3 = 2744\) и \(15^3 = 3375\)).
- Кубический корень из \(30000\) примерно равен \(31.62\) (так как \(31^3 = 29791\) и \(32^3 = 32768\)).
Это значит, что \(x\) должен быть натуральным числом в диапазоне:
\[ 15 \leq x \leq 31 \]
Теперь подберем значения для \(x\) от \(15\) до \(31\) и найдем соответствующие числовые значения для \(N\):
- При \(x = 15\):
\[ N = \frac{1}{3} \cdot 15^3 = \frac{1}{3} \cdot 3375 = 1125 \]
- При \(x = 16\):
\[ N = \frac{1}{3} \cdot 16^3 = \frac{1}{3} \cdot 4096 = 1365.33 \quad (\text{неподходящее, т.к. не целое число}) \]
- При \(x = 17\):
\[ N = \frac{1}{3} \cdot 17^3 = \frac{1}{3} \cdot 4913 = 1637.67 \quad (\text{неподходящее, т.к. не целое число}) \]
- При \(x = 18\):
\[ N = \frac{1}{3} \cdot 18^3 = \frac{1}{3} \cdot 5832 = 1944 \]
- При \(x = 19\):
\[ N = \frac{1}{3} \cdot 19^3 = \frac{1}{3} \cdot 6859 = 2286.33 \quad (\text{неподходящее, т.к. не целое число}) \]
- При \(x = 20\):
\[ N = \frac{1}{3} \cdot 20^3 = \frac{1}{3} \cdot 8000 = 2666.67 \quad (\text{неподходящее, т.к. не целое число}) \]
- При \(x = 21\):
\[ N = \frac{1}{3} \cdot 21^3 = \frac{1}{3} \cdot 9261 = 3087 \]
- При \(x = 22\):
\[ N = \frac{1}{3} \cdot 22^3 = \frac{1}{3} \cdot 10648 = 3549.33 \quad (\text{неподходящее, т.к. не целое число}) \]
- При \(x = 23\):
\[ N = \frac{1}{3} \cdot 23^3 = \frac{1}{3} \cdot 12167 = 4055.67 \quad (\text{неподходящее, т.к. не целое число}) \]
- При \(x = 24\):
\[ N = \frac{1}{3} \cdot 24^3 = \frac{1}{3} \cdot 13824 = 4608 \]
- При \(x = 25\):
\[ N = \frac{1}{3} \cdot 25^3 = \frac{1}{3} \cdot 15625 = 5208.33 \quad (\text{неподходящее, т.к. не целое число}) \]
- При \(x = 26\):
\[ N = \frac{1}{3} \cdot 26^3 = \frac{1}{3} \cdot 17576 = 5858.67 \quad (\text{неподходящее, т.к. не целое число}) \]
- При \(x = 27\):
\[ N = \frac{1}{3} \cdot 27^3 = \frac{1}{3} \cdot 19683 = 6561 \]
- При \(x = 28\):
\[ N = \frac{1}{3} \cdot 28^3 = \frac{1}{3} \cdot 21952 = 7317.33 \quad (\text{неподходящее, т.к. не целое число}) \]
- При \(x = 29\):
\[ N = \frac{1}{3} \cdot 29^3 = \frac{1}{3} \cdot 24389 = 8129.67 \quad (\text{неподходящее, т.к. не целое число}) \]
- При \(x = 30\):
\[ N = \frac{1}{3} \cdot 30^3 = \frac{1}{3} \cdot 27000 = 9000 \]
Таким образом, у нас есть несколько четырёхзначных чисел (\(1125\), \(1944\), \(3087\), \(4608\), \(6561\), \(9000\)).
Одно из решений:
\[ \boxed{6561} \]
Это значение удовлетворяет всем условиям задачи.
