Sin(П/6+a)-sin(П/6-a)

Для решения выражения \( \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) \) мы можем воспользоваться формулой разности синусов. Формула разности синусов звучит следующим образом: \[ \sin(A) - \sin(B) = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right) \] В нашем случае \( A = \frac{\pi}{6} + a \) и \( B = \frac{\pi}{6} - a \). Теперь давайте найдем суммы и разности \( A \) и \( B \): 1. Сначала находим \( A + B \): \[ A + B = \left(\frac{\pi}{6} + a\right) + \left(\frac{\pi}{6} - a\right) = \frac{\pi}{6} + a + \frac{\pi}{6} - a = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \] 2. Теперь находим \( A - B \): \[ A - B = \left(\frac{\pi}{6} + a\right) - \left(\frac{\pi}{6} - a\right) = \frac{\pi}{6} + a - \frac{\pi}{6} + a = 2a \] Теперь подставим это в формулу разности синусов: \[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right) \] Теперь подставляем наши результаты: \[ = 2 \cos\left(\frac{\frac{\pi}{3}}{2}\right) \sin\left(\frac{2a}{2}\right) \] Упрощаем это выражение: \[ = 2 \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \sin(a) \] Теперь нам нужно определить значение \( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \). Известно, что: \[ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Таким образом, мы подставляем это значение: \[ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin(a) \] Упрощаем: \[ = \sqrt{3} \cdot \sin(a) \] Итак, окончательный ответ для выражения \( \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) \): \[ \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = \sqrt{3} \cdot \sin(a) \] Это окончательное и упрощенное решение!