Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у=х^3-3х^2+2 на отрезке [-1; 3]

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) на отрезке \([-1; 3]\), нам нужно выполнить несколько шагов:

Шаг 1: Найти производную функции

Для начала найдем первую производную функции \( y \):

\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2) = 3x^2 - 6x \]

Шаг 2: Найти критические точки

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не определена. Решим уравнение:

\[ 3x^2 - 6x = 0 \]

Вынесем общий множитель:

\[ 3x(x - 2) = 0 \]

Это уравнение имеет два решения:

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2 \]

Шаг 3: Проверить критические точки и границы отрезка

Теперь мы проверим значения функции в критических точках и на границах отрезка \([-1; 3]\).

1. Вычислим значение функции в критических точках:

   • Для \( x = 0 \):

   \[ y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 = 2 \]

   • Для \( x = 2 \):

   \[ y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \]

2. Проверим значения функции на границах отрезка:

   • Для \( x = -1 \):

   \[ y(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2 \]

   • Для \( x = 3 \):

   \[ y(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 2 = 27 - 27 + 2 = 2 \]

Шаг 4: Сравнить все значения

Теперь мы сравним все найденные значения функции:

1. \( y(-1) = -2 \)
2. \( y(0) = 2 \)
3. \( y(2) = -2 \)
4. \( y(3) = 2 \)

Шаг 5: Определить наибольшее и наименьшее значения

• Наибольшее значение функции на отрезке \([-1; 3]\): \( 2 \) (достигается при \( x = 0 \) и \( x = 3 \))
• Наименьшее значение функции на отрезке \([-1; 3]\): \( -2 \) (достигается при \( x = 2 \) и \( x = -1 \))

Ответ

Наибольшее значение — \( 2 \), наименьшее значение — \( -2 \).