Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у=х^3-3х^2+2 на отрезке [-1; 3]

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) на отрезке \([-1; 3]\), нам нужно выполнить несколько шагов: ### Шаг 1: Найти производную функции Для начала найдем первую производную функции \( y \): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2) = 3x^2 - 6x \] ### Шаг 2: Найти критические точки Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не определена. Решим уравнение: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] Вынесем общий множитель: \[ 3x(x - 2) = 0 \] Это уравнение имеет два решения: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2 \] ### Шаг 3: Проверить критические точки и границы отрезка Теперь мы проверим значения функции в критических точках и на границах отрезка \([-1; 3]\). 1. Вычислим значение функции в критических точках: - Для \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 = 2 \] - Для \( x = 2 \): \[ y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \] 2. Проверим значения функции на границах отрезка: - Для \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2 \] - Для \( x = 3 \): \[ y(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 2 = 27 - 27 + 2 = 2 \] ### Шаг 4: Сравнить все значения Теперь мы сравним все найденные значения функции: 1. \( y(-1) = -2 \) 2. \( y(0) = 2 \) 3. \( y(2) = -2 \) 4. \( y(3) = 2 \) ### Шаг 5: Определить наибольшее и наименьшее значения - Наибольшее значение функции на отрезке \([-1; 3]\): \( 2 \) (достигается при \( x = 0 \) и \( x = 3 \)) - Наименьшее значение функции на отрезке \([-1; 3]\): \( -2 \) (достигается при \( x = 2 \) и \( x = -1 \)) ### Ответ Наибольшее значение — \( 2 \), наименьшее значение — \( -2 \).