Для решения данной системы уравнений сначала определим уравнения:
- ( y = x^2 + 8 )
- ( y = -x^2 + 12 )
Мы будем искать точки пересечения этих двух графиков, так как они представляют собой два уравнения, и если они пересекаются, это значит, что система имеет решения.
Шаг 1: Приравняем уравнения
Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части уравнений:
[
x^2 + 8 = -x^2 + 12
]
Шаг 2: Преобразуем уравнение
Соберем все слагаемые на одной стороне:
[
x^2 + x^2 + 8 - 12 = 0
]
Упростим уравнение:
[
2x^2 - 4 = 0
]
Шаг 3: Решим полученное уравнение
Теперь решим уравнение:
[
2x^2 = 4
]
[
x^2 = 2
]
[
x = \pm \sqrt{2}
]
Шаг 4: Найдем соответствующие значения y
Теперь подставим найденные значения (x) обратно в одно из уравнений, чтобы найти соответствующие значения (y). Мы используем первое уравнение:
Для ( x = \sqrt{2} ):
[
y = (\sqrt{2})^2 + 8 = 2 + 8 = 10
]
Для ( x = -\sqrt{2} ):
[
y = (-\sqrt{2})^2 + 8 = 2 + 8 = 10
]
Итог
Мы нашли две точки пересечения:
- ( (\sqrt{2}, 10) )
- ( (-\sqrt{2}, 10) )
Шаг 5: Сделаем вывод
Таким образом, система уравнений имеет 2 решения:
- ( (\sqrt{2}, 10) )
- ( (-\sqrt{2}, 10) )
Графически это означает, что параболы, заданные этими уравнениями, пересекаются в двух точках.
Если есть дополнительные вопросы или потребуется помощь с другими задачами, пожалуйста, дайте знать!
