Дана геометрическая прогрессия b4=2/125 q=-2/5 Вычислить сумму трех первых чисел

Давайте сначала определим первый член геометрической прогрессии.

Известно, что четвёртый член \( b_4 \) геометрической прогрессии можно выразить как:

\[ b_4 = b_1 \cdot q^{3} \]

где \( b_1 \) - первый член, а \( q \) - знаменатель прогрессии. Подставим известные значения:

\[ \frac{2}{125} = b_1 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right)^{3} \]

Вычислим \( \left(-\frac{2}{5}\right)^{3} \):

\[ \left(-\frac{2}{5}\right)^{3} = -\frac{8}{125} \]

Теперь подставим это значение в уравнение:

\[ \frac{2}{125} = b_1 \cdot -\frac{8}{125} \]

Чтобы найти \( b_1 \), умножим обе стороны уравнения на \(-\frac{125}{8}\):

\[ b_1 = \frac{2}{125} \cdot -\frac{125}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4} \]

Теперь мы знаем первый член \( b_1 = -\frac{1}{4} \).

Следовательно, можем найти первые три члена прогрессии:

1. Первый член: \( b_1 = -\frac{1}{4} \)
2. Второй член:

\[ b_2 = b_1 \cdot q = -\frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \] 3. Третий член:

\[ b_3 = b_2 \cdot q = \frac{1}{10} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = -\frac{2}{50} = -\frac{1}{25} \]

Теперь у нас есть три первых члена:

1. \( b_1 = -\frac{1}{4} \)
2. \( b_2 = \frac{1}{10} \)
3. \( b_3 = -\frac{1}{25} \)

Теперь можем вычислить их сумму:

\[ S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{10} - \frac{1}{25} \]

Чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4, 10 и 25 равен 100.

Преобразуем дроби:

\[ -\frac{1}{4} = -\frac{25}{100} \] \[ \frac{1}{10} = \frac{10}{100} \] \[ -\frac{1}{25} = -\frac{4}{100} \]

Теперь можем сложить:

\[ S_3 = -\frac{25}{100} + \frac{10}{100} - \frac{4}{100} = \frac{-25 + 10 - 4}{100} = \frac{-19}{100} \]

Итак, сумма трёх первых членов геометрической прогрессии равна:

\[ S_3 = -\frac{19}{100} \]