Дана геометрическая прогрессия b4=2/125 q=-2/5 Вычислить сумму трех первых чисел

Давайте сначала определим первый член геометрической прогрессии. Известно, что четвёртый член \( b_4 \) геометрической прогрессии можно выразить как: \[ b_4 = b_1 \cdot q^{3} \] где \( b_1 \) - первый член, а \( q \) - знаменатель прогрессии. Подставим известные значения: \[ \frac{2}{125} = b_1 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right)^{3} \] Вычислим \( \left(-\frac{2}{5}\right)^{3} \): \[ \left(-\frac{2}{5}\right)^{3} = -\frac{8}{125} \] Теперь подставим это значение в уравнение: \[ \frac{2}{125} = b_1 \cdot -\frac{8}{125} \] Чтобы найти \( b_1 \), умножим обе стороны уравнения на \(-\frac{125}{8}\): \[ b_1 = \frac{2}{125} \cdot -\frac{125}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4} \] Теперь мы знаем первый член \( b_1 = -\frac{1}{4} \). Следовательно, можем найти первые три члена прогрессии: 1. Первый член: \( b_1 = -\frac{1}{4} \) 2. Второй член: \[ b_2 = b_1 \cdot q = -\frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \] 3. Третий член: \[ b_3 = b_2 \cdot q = \frac{1}{10} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = -\frac{2}{50} = -\frac{1}{25} \] Теперь у нас есть три первых члена: 1. \( b_1 = -\frac{1}{4} \) 2. \( b_2 = \frac{1}{10} \) 3. \( b_3 = -\frac{1}{25} \) Теперь можем вычислить их сумму: \[ S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{10} - \frac{1}{25} \] Чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4, 10 и 25 равен 100. Преобразуем дроби: \[ -\frac{1}{4} = -\frac{25}{100} \] \[ \frac{1}{10} = \frac{10}{100} \] \[ -\frac{1}{25} = -\frac{4}{100} \] Теперь можем сложить: \[ S_3 = -\frac{25}{100} + \frac{10}{100} - \frac{4}{100} = \frac{-25 + 10 - 4}{100} = \frac{-19}{100} \] Итак, сумма трёх первых членов геометрической прогрессии равна: \[ S_3 = -\frac{19}{100} \]