Найдите вероятность того, что на удачу взятое двузначное число окажется кратным 3, либо кратным 5 , либо тому и другому одновременно

Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранное двузначное число кратно 3, 5 или обоим одновременно, мы сначала определим, сколько двузначных чисел есть, а затем найдем количество чисел, соответствующих условиям задачи. ### Шаг 1: Определим диапозон двузначных чисел Двузначные числа — это числа от 10 до 99. Таким образом, у нас есть: \[ 99 - 10 + 1 = 90 \] двузначных чисел. ### Шаг 2: Найдем количества кратных 3, 5 и обоим #### 1. Кратные 3: Двузначные числа, кратные 3, начинаются с 12 и заканчиваются на 99. Чтобы найти их количество, воспользуемся формулой для вычисления количества членов арифметической прогрессии: - Первый член (a) = 12 - Последний член (l) = 99 - Шаг (d) = 3 Мы можем выразить последний член прогрессии через первый и шаг: \[ n = \frac{l - a}{d} + 1 = \frac{99 - 12}{3} + 1 = \frac{87}{3} + 1 = 29 + 1 = 30 \] Таким образом, **30** двузначных чисел кратны 3. #### 2. Кратные 5: Двузначные числа, кратные 5, начинаются с 10 и заканчиваются на 95: - Первый член (a) = 10 - Последний член (l) = 95 - Шаг (d) = 5 Теперь считаем количество: \[ n = \frac{l - a}{d} + 1 = \frac{95 - 10}{5} + 1 = \frac{85}{5} + 1 = 17 + 1 = 18 \] Таким образом, **18** двузначных чисел кратны 5. #### 3. Кратные 15 (обоим одновременно): Числа, кратные 3 и 5, кратны 15. Начинаются с 15 и заканчиваются на 90: - Первый член (a) = 15 - Последний член (l) = 90 - Шаг (d) = 15 Считаем количество: \[ n = \frac{l - a}{d} + 1 = \frac{90 - 15}{15} + 1 = \frac{75}{15} + 1 = 5 + 1 = 6 \] Таким образом, **6** двузначных чисел кратны 15. ### Шаг 3: Применим принцип включения и исключения Теперь нам нужно использовать принцип включения и исключения для нахождения количества двузначных чисел, которые кратны 3 или 5: \[ \text{Количество} = (\text{Кратные 3}) + (\text{Кратные 5}) - (\text{Кратные 15}) \] Подставляем наши значения: \[ \text{Количество} = 30 + 18 - 6 = 42 \] ### Шаг 4: Вычислим вероятность Теперь мы можем вычислить вероятность того, что случайно выбранное двузначное число окажется кратным 3 или 5: \[ P = \frac{\text{Количество подходящих чисел}}{\text{Общее количество чисел}} = \frac{42}{90} \] Упростим дробь: \[ P = \frac{42 \div 6}{90 \div 6} = \frac{7}{15} \] ### Ответ Вероятность того, что на удачу взятое двузначное число окажется кратным 3, либо кратным 5, либо тому и другому одновременно, составляет \(\frac{7}{15}\).