найдите вероятность того, что на удачу взятое двузначное число окажется кратным 3, либо кратным 5 , либо тому и другому одновременно

Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранное двузначное число кратно 3, 5 или обоим одновременно, мы сначала определим, сколько двузначных чисел есть, а затем найдем количество чисел, соответствующих условиям задачи.

Шаг 1: Определим диапозон двузначных чисел

Двузначные числа — это числа от 10 до 99. Таким образом, у нас есть:

\[ 99 - 10 + 1 = 90 \] двузначных чисел.

Шаг 2: Найдем количества кратных 3, 5 и обоим

1. Кратные 3:

Двузначные числа, кратные 3, начинаются с 12 и заканчиваются на 99. Чтобы найти их количество, воспользуемся формулой для вычисления количества членов арифметической прогрессии:

• Первый член (a) = 12
• Последний член (l) = 99
• Шаг (d) = 3

Мы можем выразить последний член прогрессии через первый и шаг:

\[ n = \frac{l - a}{d} + 1 = \frac{99 - 12}{3} + 1 = \frac{87}{3} + 1 = 29 + 1 = 30 \]

Таким образом, 30 двузначных чисел кратны 3.

2. Кратные 5:

Двузначные числа, кратные 5, начинаются с 10 и заканчиваются на 95:

• Первый член (a) = 10
• Последний член (l) = 95
• Шаг (d) = 5

Теперь считаем количество:

\[ n = \frac{l - a}{d} + 1 = \frac{95 - 10}{5} + 1 = \frac{85}{5} + 1 = 17 + 1 = 18 \]

Таким образом, 18 двузначных чисел кратны 5.

3. Кратные 15 (обоим одновременно):

Числа, кратные 3 и 5, кратны 15. Начинаются с 15 и заканчиваются на 90:

• Первый член (a) = 15
• Последний член (l) = 90
• Шаг (d) = 15

Считаем количество:

\[ n = \frac{l - a}{d} + 1 = \frac{90 - 15}{15} + 1 = \frac{75}{15} + 1 = 5 + 1 = 6 \]

Таким образом, 6 двузначных чисел кратны 15.

Шаг 3: Применим принцип включения и исключения

Теперь нам нужно использовать принцип включения и исключения для нахождения количества двузначных чисел, которые кратны 3 или 5:

\[ \text{Количество} = (\text{Кратные 3}) + (\text{Кратные 5}) - (\text{Кратные 15}) \]

Подставляем наши значения:

\[ \text{Количество} = 30 + 18 - 6 = 42 \]

Шаг 4: Вычислим вероятность

Теперь мы можем вычислить вероятность того, что случайно выбранное двузначное число окажется кратным 3 или 5:

\[ P = \frac{\text{Количество подходящих чисел}}{\text{Общее количество чисел}} = \frac{42}{90} \]

Упростим дробь:

\[ P = \frac{42 \div 6}{90 \div 6} = \frac{7}{15} \]

Ответ

Вероятность того, что на удачу взятое двузначное число окажется кратным 3, либо кратным 5, либо тому и другому одновременно, составляет \(\frac{7}{15}\).