Решить

Для решения задачи найдем меньший катет прямоугольного треугольника.

Дано:

• Сумма катетов равна \( 14 \, \text{м} \).
• Площадь треугольника составляет \( 24 \, \text{м}^2 \).

Обозначим:

• \( a \) — один катет.
• \( b \) — другой катет.
• \( a + b = 14 \)
• Площадь треугольника: \( \frac{1}{2}ab = 24 \)

Решение:

1. Из условия площади: \[ \frac{1}{2} \times a \times b = 24 \] \[ ab = 48 \]

2. У нас получились две системы уравнений: \[ a + b = 14 \] \[ ab = 48 \]

3. Решим систему уравнений. Из первого уравнения выразим \( b \): \[ b = 14 - a \]

4. Подставим во второе уравнение: \[ a(14 - a) = 48 \] \[ 14a - a^2 = 48 \] \[ a^2 - 14a + 48 = 0 \]

5. Решим квадратное уравнение: \[ D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \times 1 \times 48 \] \[ D = 196 - 192 = 4 \]

6. Найдем корни уравнения: \[ a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 2}{2} \] \[ a_1 = \frac{14 + 2}{2} = 8 \] \[ a_2 = \frac{14 - 2}{2} = 6 \]

7. Меньший катет — \( 6 \).

Ответ:

6