Существует ли два таких выпуклых четырёхугольникика что один расположен внутри другого и при этом сумма диагоналей внутреннего четырёхугольника больше суммы диагоналей внешнего

Чтобы понять, существует ли два таких выпуклых четырёхугольника, при которых один расположен внутри другого, и сумма диагоналей внутреннего четырёхугольника больше суммы диагоналей внешнего, давайте поэтапно разберёмся с этой задачей.

1. Определим диагонали четырёхугольника

Выпуклый четырёхугольник имеет две диагонали. Обозначим наш внутренний четырёхугольник как \(ABCD\) и внешний как \(EFGH\). Диагонали четырёхугольника \(ABCD\) - это \(AC\) и \(BD\), а диагонали \(EFGH\) - \(EG\) и \(FH\).

2. Выразим сумму диагоналей

Для диагоналей четырёхугольника \(ABCD\) сумма диагоналей будет равна: \[ S_{ABCD} = AC + BD \]

Для диагоналей четырёхугольника \(EFGH\) сумма диагоналей будет равна: \[ S_{EFGH} = EG + FH \]

3. Условия задачи

По условию задачи нам нужно, чтобы выполнялось: \[ S_{ABCD} > S_{EFGH} \]

4. Внутренние и внешние четырёхугольники

Выпуклые четырёхугольники имеют положительные углы между своими сторонами, и их диагонали могут пересекаться или не пересекаться. Основной вопрос заключается в том, возможно ли построить такие четырёхугольники, что внутренний будет иметь большую сумму диагоналей по сравнению с внешним.

5. Геометрическая интерпретация

Рассмотрим пример. Если внутренний четырёхугольник очень "растянут" и его углы будут очень острыми, это может привести к тому, что его диагонали будут длиннее, чем у внешнего четырёхугольника, который может выглядеть более сбалансированным и "плоским".

6. Пример

Предположим, у нас есть внутренний четырёхугольник \(ABCD\) с остроконечными углами и длинами диагоналей:

• \(AC = 10\)
• \(BD = 12\)

Сумма диагоналей внутреннего: \[ S_{ABCD} = 10 + 12 = 22 \]

Теперь, если мы рассматриваем внешний четырёхугольник \(EFGH\) например с диагоналями:

• \(EG = 8\)
• \(FH = 9\)

Сумма диагоналей внешнего: \[ S_{EFGH} = 8 + 9 = 17 \]

В этом случае, \(S_{ABCD} (22) > S_{EFGH} (17)\).

7. Вывод

Таким образом, существует возможность построения одного выпуклого четырёхугольника внутри другого так, что сумма диагоналей внутреннего четырёхугольника больше суммы диагоналей внешнего. Следовательно, задача имеет положительный ответ — да, такие четырёхугольники могут существовать.