Решите уравнение 4/x+3 - 5/3-x = 1/x-3 -1

Чтобы решить уравнение \[ \frac{4}{x+3} - \frac{5}{3-x} = \frac{1}{x-3} - 1, \] начнем с упрощения. Давайте перепишем уравнение в более удобной форме. Заметим, что \(\frac{5}{3-x}\) можно записать как \(-\frac{5}{x-3}\). Таким образом, уравнение станет: \[ \frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} = \frac{1}{x-3} - 1. \] Теперь мы можем привести все члены с одинаковым знаменателем. Это значит, что мы можем привести правую часть уравнения к общему знаменателю: \[ \frac{1}{x-3} - 1 = \frac{1 - (x-3)}{x-3} = \frac{1 - x + 3}{x-3} = \frac{4 - x}{x-3}. \] Теперь у нас есть уравнение: \[ \frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} = \frac{4 - x}{x-3}. \] Чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны на \( (x+3)(x-3) \): \[ 4(x-3) + 5(x+3) = (4 - x)(x + 3). \] Теперь раскроем скобки: \[ 4x - 12 + 5x + 15 = 4x + 12 - x^2 - 3x. \] Объединим подобные члены: \[ (4x + 5x) + (15 - 12) = 4x + 12 - x^2 - 3x. \] Получаем: \[ 9x + 3 = 4x + 12 - x^2 - 3x. \] Упростим это уравнение: \[ 9x + 3 = 4x - 3x + 12 - x^2, \] \[ 9x + 3 = x + 12 - x^2. \] Теперь приводим все к одной стороне уравнения, перемещая все члены влево: \[ 9x - x + x^2 + 3 - 12 = 0. \] Упростим это: \[ x^2 + 8x - 9 = 0. \] Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100. \] Теперь находим корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 10}{2}. \] Это дает нам два решения: 1. \(x_1 = \frac{2}{2} = 1\), 2. \(x_2 = \frac{-18}{2} = -9\). Теперь проверим, не являются ли найденные корни запрещёнными для условий нашего уравнения (где знаменатели не могут равняться нулю): Для \(x = 1\): - \(x + 3 = 1 + 3 = 4\) (не ноль), - \(x - 3 = 1 - 3 = -2\) (не ноль). Для \(x = -9\): - \(x + 3 = -9 + 3 = -6\) (не ноль), - \(x - 3 = -9 - 3 = -12\) (не ноль). Оба значения допустимы. Итак, окончательные решения уравнения: \[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = -9. \]