Решите уравнение 4/x+3 - 5/3-x = 1/x-3 -1
Чтобы решить уравнение
\[ \frac{4}{x+3} - \frac{5}{3-x} = \frac{1}{x-3} - 1, \]
начнем с упрощения. Давайте перепишем уравнение в более удобной форме. Заметим, что \(\frac{5}{3-x}\) можно записать как \(-\frac{5}{x-3}\). Таким образом, уравнение станет:
\[ \frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} = \frac{1}{x-3} - 1. \]
Теперь мы можем привести все члены с одинаковым знаменателем. Это значит, что мы можем привести правую часть уравнения к общему знаменателю:
\[ \frac{1}{x-3} - 1 = \frac{1 - (x-3)}{x-3} = \frac{1 - x + 3}{x-3} = \frac{4 - x}{x-3}. \]
Теперь у нас есть уравнение:
\[ \frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} = \frac{4 - x}{x-3}. \]
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны на \( (x+3)(x-3) \):
\[ 4(x-3) + 5(x+3) = (4 - x)(x + 3). \]
Теперь раскроем скобки:
\[ 4x - 12 + 5x + 15 = 4x + 12 - x^2 - 3x. \]
Объединим подобные члены:
\[ (4x + 5x) + (15 - 12) = 4x + 12 - x^2 - 3x. \]
Получаем:
\[ 9x + 3 = 4x + 12 - x^2 - 3x. \]
Упростим это уравнение:
\[ 9x + 3 = 4x - 3x + 12 - x^2, \] \[ 9x + 3 = x + 12 - x^2. \]
Теперь приводим все к одной стороне уравнения, перемещая все члены влево:
\[ 9x - x + x^2 + 3 - 12 = 0. \]
Упростим это:
\[ x^2 + 8x - 9 = 0. \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100. \]
Теперь находим корни уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 10}{2}. \]
Это дает нам два решения:
- \(x_1 = \frac{2}{2} = 1\),
- \(x_2 = \frac{-18}{2} = -9\).
Теперь проверим, не являются ли найденные корни запрещёнными для условий нашего уравнения (где знаменатели не могут равняться нулю):
Для \(x = 1\):
- \(x + 3 = 1 + 3 = 4\) (не ноль),
- \(x - 3 = 1 - 3 = -2\) (не ноль).
Для \(x = -9\):
- \(x + 3 = -9 + 3 = -6\) (не ноль),
- \(x - 3 = -9 - 3 = -12\) (не ноль).
Оба значения допустимы. Итак, окончательные решения уравнения:
\[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = -9. \]
