Давайте решим данную задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Обозначение переменных
Пусть:
- ( v ) — скорость пешехода на обратном пути (в км/ч)
- ( v + 1 ) — скорость пешехода от посёлка до станции (так как она на 1 км/ч больше)
Шаг 2: Формула для времени в пути
Время пути можно найти по формуле:
[
t = \frac{s}{v}
]
где ( t ) — время, ( s ) — расстояние, ( v ) — скорость.
Шаг 3: Времена пути
Время в пути от посёлка до станции:
[
t_1 = \frac{4}{v + 1}
]
Время в пути обратно:
[
t_2 = \frac{4}{v}
]
Согласно условию, время обратного пути на 12 минут больше. Переведем 12 минут в часы:
[
12 \text{ минут} = \frac{12}{60} \text{ часов} = 0,2 \text{ часов}
]
Шаг 4: Запись уравнения
Используя информацию о времени, мы можем записать следующее уравнение:
[
t_2 = t_1 + 0,2
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{4}{v} = \frac{4}{v + 1} + 0,2
]
Шаг 5: Решение уравнения
Умножим все части уравнения на ( v(v + 1) ) (чтобы избавиться от знаменателей):
[
4(v + 1) = 4v + 0,2v(v + 1)
]
Раскроем скобки:
[
4v + 4 = 4v + 0,2v^2 + 0,2v
]
Упрощаем:
[
4 = 0,2v^2 + 0,2v
]
Шаг 6: Умножим на 5, чтобы избавиться от десятичных дробей
[
20 = v^2 + v
]
Приведем уравнение к стандартному виду:
[
v^2 + v - 20 = 0
]
Шаг 7: Решение квадратного уравнения
Используем формулу для решения квадратного уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = 1 ), ( c = -20 ).
Вычисляем дискриминант:
[
D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81
]
Теперь подставим в формулу:
[
v = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 9}{2}
]
Шаг 8: Находим корни
- ( v = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4 )
- ( v = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5 ) (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)
Таким образом, скорость пешехода на обратном пути:
[
v = 4 \text{ км/ч}
]
Шаг 9: Определяем скорость на прямом пути
Скорость пешехода от посёлка до станции:
[
v + 1 = 4 + 1 = 5 \text{ км/ч}
]
Ответ:
Скорость пешехода на обратном пути равна 4 км/ч, а на прямом пути — 5 км/ч.
