7.6.3 Использование переменных для решения задач на делимость Базовый уровень. Домашняя работа Задача 1. Выберите все утверждения, верные для любых натуральных чисел 𝑎 и 𝑏. 1) Если число 𝑎 делится на 8, его можно записать в виде 8𝑘, где 𝑘 — некоторое натуральное число. 2) Если число 𝑎 делится на 7, то 𝑎 − 𝑏 делится на 7. 3) Если число 𝑎 делится на 9, то 𝑎𝑏 делится на 9. Задача 2. Число 𝑎 делится на 4, а число 𝑏 делится на 5. Найдите четыре числа, на которые делится 10𝑎 + 12𝑏 при всех таких 𝑎 и 𝑏. Задача 3. Слесарь купил гаечный ключ за 200 рублей и 4 одинаковых набора гаек. Сколько рублей могла стоить эта покупка, если известно, что стоимость одного набора составляет целое число рублей? Выберите все возможные варианты. а) 267; б) 324; в) 196; г) 280; д) 250. Задача 4. Переменная 𝑎 делится на 4, а переменная 𝑏 делится на 10. Выберите из чисел 1, 2, 4, 5, 10, 20, 40 те, на которые делится 5𝑎 + 𝑏 при всех таких 𝑎 и 𝑏. Задача5. Из натурального числа, которое делится на 14, вычли 1, получившуюся разность возвели в квадрат, а затем вычли 1. Укажите четыре делителя получившейся разности, отличных от 1.

Давайте разберем каждую задачу по очереди. ### Задача 1 Необходимо выбрать все утверждения, верные для любых натуральных чисел \( a \) и \( b \). 1) **Если число \( a \) делится на 8, его можно записать в виде \( 8k \), где \( k \) — некоторое натуральное число.** Это верное утверждение. Делимость числа на 8 означает, что оно можно представить в виде произведения 8 и какого-то целого числа \( k \) (в данном случае, натурального). 2) **Если число \( a \) делится на 7, то \( a - b \) делится на 7.** Это неверное утверждение. Делимость суммы/разности чисел на некоторое число зависит от делимости всех членов. Например, если \( a \) делится на 7, а \( b \) не делится на 7, то \( a - b \) может не делиться на 7. 3) **Если число \( a \) делится на 9, то \( ab \) делится на 9.** Это утверждение также неверно. Например, если \( b \) не делится на 9 (или равно 0), то произведение \( ab \) не обязательно делится на 9. **Верно только утверждение 1.** --- ### Задача 2 \( a \) делится на 4, \( b \) делится на 5. Нужно найти, на какие числа делится \( 10a + 12b \). 1. \( a \) имеет вид \( a = 4k \), где \( k \) — натуральное число. 2. \( b \) имеет вид \( b = 5m \), где \( m \) — натуральное число. 3. Подставим: \[ 10a + 12b = 10(4k) + 12(5m) = 40k + 60m \] Изменим выражение: \[ = 20(2k + 3m) \] Таким образом, \( 10a + 12b \) делится на 20. Кроме того, так как \( 40k \) и \( 60m \) оба делятся на 4 и на 5, то \( 10a + 12b \) делится на 4 и на 5. Таким образом, оно делится также на 10. Итак, числа, на которые делится \( 10a + 12b \): - 4 - 5 - 10 - 20 --- ### Задача 3 Слезарь купил гаечный ключ за 200 рублей и 4 набора гаек. Обозначим стоимость одного набора за \( x \) рублей. Общее количество рублей, потраченных на наборы, будет \( 4x \). Общая стоимость покупки: \[ 200 + 4x \] Нам нужно найти целые значения \( x \), чтобы данная сумма приняла значения из заданных вариантов: 267, 324, 196, 280, 250. 1. \( 200 + 4x = 267 \) \( 4x = 267 - 200 = 67 \) не делится на 4. 2. \( 200 + 4x = 324 \) \( 4x = 324 - 200 = 124 \rightarrow x = 31 \) (дельная). 3. \( 200 + 4x = 196 \) \( 4x = 196 - 200 = -4 \) (недопустимо). 4. \( 200 + 4x = 280 \) \( 4x = 280 - 200 = 80 \rightarrow x = 20 \) (дельная). 5. \( 200 + 4x = 250 \) \( 4x = 250 - 200 = 50 \) не делится на 4. **Ответ: 324, 280.** --- ### Задача 4 Переменная \( a \) делится на 4, \( b \) делится на 10. Нужно найти, на какие числа делится \( 5a + b \). Подставляем: \[ 5a + b = 5(4k) + 10m = 20k + 10m = 10(2k + m) \] Это выражение делится на 10. Теперь смотрим, делится ли оно на другие числа из списка (1, 2, 4, 5, 10, 20, 40): - Делится на 10 (явно). - Делится на 5 (так как 10 делится на 5). - Делится на 2 (так как 10 делится на 2). - Не делится на 4, 20 и 40 в общем случае, поскольку \( 2k + m \) задает произвольные значения. **Верные числа: 2, 5, 10.** --- ### Задача 5 Рассмотрим натуральное число \( n \), которое делится на 14, означаем его как \( n = 14k \) для некоторого натурального \( k \). Выражение под заданием: \[ (n - 1)^2 - 1 = (14k - 1)^2 - 1 \] Раскроем скобки: \[ = 196k^2 - 28k + 1 - 1 = 196k^2 - 28k \] Теперь выделим общие множители: \[ = 28k(7k - 1) \] Исключаем 1 и находим делители: - 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98 и 196. Четыре делителя отличные от 1: - 2, 4, 7, 14. Таким образом, на вопросы даны подробные объяснения и ответы.