7.6.3 Использование переменных для решения задач на делимость Базовый уровень. Домашняя работа Задача 1. Выберите все утверждения, верные для любых натуральных чисел 𝑎 и 𝑏. 1)…

Давайте разберем каждую задачу по очереди.

Задача 1

Необходимо выбрать все утверждения, верные для любых натуральных чисел \( a \) и \( b \).

1. Если число \( a \) делится на 8, его можно записать в виде \( 8k \), где \( k \) — некоторое натуральное число.
   Это верное утверждение. Делимость числа на 8 означает, что оно можно представить в виде произведения 8 и какого-то целого числа \( k \) (в данном случае, натурального).

2. Если число \( a \) делится на 7, то \( a - b \) делится на 7.
   Это неверное утверждение. Делимость суммы/разности чисел на некоторое число зависит от делимости всех членов. Например, если \( a \) делится на 7, а \( b \) не делится на 7, то \( a - b \) может не делиться на 7.

3. Если число \( a \) делится на 9, то \( ab \) делится на 9.
   Это утверждение также неверно. Например, если \( b \) не делится на 9 (или равно 0), то произведение \( ab \) не обязательно делится на 9.

Верно только утверждение 1.

Задача 2

\( a \) делится на 4, \( b \) делится на 5. Нужно найти, на какие числа делится \( 10a + 12b \).

1. \( a \) имеет вид \( a = 4k \), где \( k \) — натуральное число.
2. \( b \) имеет вид \( b = 5m \), где \( m \) — натуральное число.
3. Подставим:
   \[ 10a + 12b = 10(4k) + 12(5m) = 40k + 60m \] Изменим выражение:
   \[ = 20(2k + 3m) \]

Таким образом, \( 10a + 12b \) делится на 20.

Кроме того, так как \( 40k \) и \( 60m \) оба делятся на 4 и на 5, то \( 10a + 12b \) делится на 4 и на 5. Таким образом, оно делится также на 10.

Итак, числа, на которые делится \( 10a + 12b \):

• 4
• 5
• 10
• 20

Задача 3

Слезарь купил гаечный ключ за 200 рублей и 4 набора гаек.
Обозначим стоимость одного набора за \( x \) рублей. Общее количество рублей, потраченных на наборы, будет \( 4x \). Общая стоимость покупки:
\[ 200 + 4x \]

Нам нужно найти целые значения \( x \), чтобы данная сумма приняла значения из заданных вариантов: 267, 324, 196, 280, 250.

1. \( 200 + 4x = 267 \)
   \( 4x = 267 - 200 = 67 \) не делится на 4.

2. \( 200 + 4x = 324 \)
   \( 4x = 324 - 200 = 124 \rightarrow x = 31 \) (дельная).

3. \( 200 + 4x = 196 \)
   \( 4x = 196 - 200 = -4 \) (недопустимо).

4. \( 200 + 4x = 280 \)
   \( 4x = 280 - 200 = 80 \rightarrow x = 20 \) (дельная).

5. \( 200 + 4x = 250 \)
   \( 4x = 250 - 200 = 50 \) не делится на 4.

Ответ: 324, 280.

Задача 4

Переменная \( a \) делится на 4, \( b \) делится на 10. Нужно найти, на какие числа делится \( 5a + b \).

Подставляем:
\[ 5a + b = 5(4k) + 10m = 20k + 10m = 10(2k + m) \]

Это выражение делится на 10. Теперь смотрим, делится ли оно на другие числа из списка (1, 2, 4, 5, 10, 20, 40):

• Делится на 10 (явно).
• Делится на 5 (так как 10 делится на 5).
• Делится на 2 (так как 10 делится на 2).
• Не делится на 4, 20 и 40 в общем случае, поскольку \( 2k + m \) задает произвольные значения.

Верные числа: 2, 5, 10.

Задача 5

Рассмотрим натуральное число \( n \), которое делится на 14, означаем его как \( n = 14k \) для некоторого натурального \( k \). Выражение под заданием:
\[ (n - 1)^2 - 1 = (14k - 1)^2 - 1 \] Раскроем скобки:
\[ = 196k^2 - 28k + 1 - 1 = 196k^2 - 28k \]

Теперь выделим общие множители:
\[ = 28k(7k - 1) \]

Исключаем 1 и находим делители:

• 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98 и 196.

Четыре делителя отличные от 1:

• 2, 4, 7, 14.

Таким образом, на вопросы даны подробные объяснения и ответы.