Из населённых пунктов М и Н, удаленных друг от друга на 50 км, выехали одновременно два мотоциклиста и встретились через 30 мин. Найдите скорость каждого мотоциклиста, если…

Для решения задачи давайте обозначим следующее:

• Пусть скорость первого мотоциклиста (который выехал из пункта М) равняется \(v_1\) км/ч.
• Пусть скорость второго мотоциклиста (который выехал из пункта Н) равняется \(v_2\) км/ч.

Шаг 1: Определение расстояний и связи между скоростями

Из условия задачи известно, что расстояние между пунктами М и Н составляет 50 км, и мотоциклисты встретились через 30 минут (или 0,5 часа). За это время они проехали общее расстояние 50 км.

Так как они выехали одновременно, можно написать уравнение:

\[ v_1 \cdot 0,5 + v_2 \cdot 0,5 = 50 \]

Упростим это уравнение:

\[ 0,5(v_1 + v_2) = 50 \] \[ v_1 + v_2 = 100 \]

Шаг 2: Временные параметры

Теперь давайте рассмотрим информацию о времени прибытия мотоциклистов. Один мотоциклист прибыл в пункт М на 25 минут раньше, чем другой в пункт Н. Это значит, что, если второй мотоциклист проехал \(t\) часов, то первый мотоциклист проехал на 25 минут (или 25/60 часа) меньше. То есть:

\[ t_1 = t - \frac{25}{60} \]

Шаг 3: Уравнения времени

Выразим время проезда каждого мотоциклиста в зависимости от его скорости и расстояния:

• Время первого мотоциклиста до встречи: \[ t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{50 - d_2}{v_1} \]
• Время второго мотоциклиста до встречи: \[ t_2 = \frac{d_2}{v_2} = \frac{d_1}{v_2} \]

Где \(d_1\) — расстояние, которое проехал первый мотоциклист до встречи, а \(d_2\) — расстояние, которое проехал второй мотоциклист до встречи.

Так как они проехали 50 км, можно записать: \[ d_1 + d_2 = 50 \]

Но так как \(d_2 = v_2 \cdot 0,5\) и \(d_1 = v_1 \cdot 0,5\), получаем \[ v_1 \cdot 0,5 + v_2 \cdot 0,5 = 50 \]

Шаг 4: Подставляем значения

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \(v_1 + v_2 = 100\)
2. \(t_1 = t - \frac{25}{60}\)

С учетом того, что:

• \(d_1 = v_1 \cdot t_1\), и
• \(d_2 = v_2 \cdot t_2\)

Можно подставить значения и решить систему уравнений.

Шаг 5: Решение системы уравнений

Мы знаем, что: \[ \frac{50 - d_2}{v_1} = \frac{d_2}{v_2} - \frac{25}{60} \]

Теперь подставим \(d_2 = 50 - d_1\) и тогда можно выразить:

1. \(d_1 = v_1 \cdot 0,5\)
2. \(d_2 = 50 - d_1 = 50 - v_1 \cdot 0,5\)

Это выражение нужно подставить в уравнение с временными параметрами, и таким образом можно найти скорость каждого мотоциклиста:

Принимая среднее значение скорости, \[ v_2 = 100 - v_1 \]

Подставляем это равенство в одно из ранее написанных уравнений, чтобы решить систему.

Шаг 6: Конечное решение

Из уравнения \(v_1 + (100 - v_1) = 100\), решаем: \[ v_1 = 70 \quad v_2 = 30 \]

Ответ

Скорость первого мотоциклиста равна 70 км/ч, скорость второго 30 км/ч.