2. Стороны треугольника относятся как З : 25 : 26. Его площадь равна 144 см2. Найдите периметр данного треугольника. Решение без теоремы герона
Для решения данной задачи начнем с обозначения сторон треугольника через некоторый коэффициент. Пусть стороны треугольника равны \(3k\), \(25k\) и \(26k\), где \(k\) - некое положительное число.
Сначала найдем полупериметр треугольника:
\[ P = \frac{3k + 25k + 26k}{2} = \frac{54k}{2} = 27k \]
Теперь можно воспользоваться формулой для площади треугольника через стороны и угол между ними. Площадь треугольника может быть также найдена через формулу:
\[ S = \frac{1}{2}ab\sin C \]
где \(a\) и \(b\) - стороны, а \(C\) - угол между ними. Однако проще будет найти площадь треугольника, используя его соотношения.
Напомню, что для треугольника с такими сторонами, его площадь \(S\) также может быть использована через формулу площади треугольника, если три стороны можно выразить через p и некоторые известные коэффициенты. Мы знаем, что:
\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]
где \(p\) - полупериметр, а \(a\), \(b\), и \(c\) - стороны треугольника.
В нашей ситуации, при \(S = 144\) см² и \(a=3k\), \(b=25k\), \(c=26k\), подставляем значения:
\[ S = \sqrt{27k \cdot (27k - 3k) \cdot (27k - 25k) \cdot (27k - 26k)} \]
Это упростится до:
\[ S = \sqrt{27k \cdot 24k \cdot 2k \cdot k} = \sqrt{27 \cdot 24 \cdot 2 \cdot k^4} \] \[ S = k^2 \sqrt{1296} = 36k^2 \]
Поскольку площадь равна 144 см², приравниваем:
\[ 36k^2 = 144 \]
Теперь, решив это уравнение, получим:
\[ k^2 = \frac{144}{36} = 4 \Rightarrow k = 2 \]
Теперь можем подставить найденное значение \(k\) обратно в выражение для сторон:
- \(a = 3k = 3 \cdot 2 = 6 \, \text{см}\)
- \(b = 25k = 25 \cdot 2 = 50 \, \text{см}\)
- \(c = 26k = 26 \cdot 2 = 52 \, \text{см}\)
Теперь вычислим периметр \(P\):
\[ P = a + b + c = 6 + 50 + 52 = 108 \, \text{см} \]
Таким образом, периметр данного треугольника равен \(108 \, \text{см}\).
