Для решения данной задачи начнем с обозначения сторон треугольника через некоторый коэффициент. Пусть стороны треугольника равны (3k), (25k) и (26k), где (k) - некое положительное число.
Сначала найдем полупериметр треугольника:
[
P = \frac{3k + 25k + 26k}{2} = \frac{54k}{2} = 27k
]
Теперь можно воспользоваться формулой для площади треугольника через стороны и угол между ними. Площадь треугольника может быть также найдена через формулу:
[
S = \frac{1}{2}ab\sin C
]
где (a) и (b) - стороны, а (C) - угол между ними. Однако проще будет найти площадь треугольника, используя его соотношения.
Напомню, что для треугольника с такими сторонами, его площадь (S) также может быть использована через формулу площади треугольника, если три стороны можно выразить через p и некоторые известные коэффициенты. Мы знаем, что:
[
S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
]
где (p) - полупериметр, а (a), (b), и (c) - стороны треугольника.
В нашей ситуации, при (S = 144) см² и (a=3k), (b=25k), (c=26k), подставляем значения:
[
S = \sqrt{27k \cdot (27k - 3k) \cdot (27k - 25k) \cdot (27k - 26k)}
]
Это упростится до:
[
S = \sqrt{27k \cdot 24k \cdot 2k \cdot k} = \sqrt{27 \cdot 24 \cdot 2 \cdot k^4}
]
[
S = k^2 \sqrt{1296} = 36k^2
]
Поскольку площадь равна 144 см², приравниваем:
[
36k^2 = 144
]
Теперь, решив это уравнение, получим:
[
k^2 = \frac{144}{36} = 4 \Rightarrow k = 2
]
Теперь можем подставить найденное значение (k) обратно в выражение для сторон:
- (a = 3k = 3 \cdot 2 = 6 , \text{см})
- (b = 25k = 25 \cdot 2 = 50 , \text{см})
- (c = 26k = 26 \cdot 2 = 52 , \text{см})
Теперь вычислим периметр (P):
[
P = a + b + c = 6 + 50 + 52 = 108 , \text{см}
]
Таким образом, периметр данного треугольника равен (108 , \text{см}).
