Решить упражнение 11,12,13 по условию

Для задачи на числовую окружность нам нужно определить, какие из данных чисел соответствуют определённой точке на окружности. Каждый из углов приводится к эквивалентному значению в пределах одного полного оборота, то есть от 0 до \(2\pi\). **Упражнение 11:** Основная задача — определить, к какому углу на числовой окружности приводит каждый из данных в вопросе углов. Мы будем использовать тот факт, что углы на числовой окружности повторяются с периодом \(2\pi\). Рассмотрим каждый пункт: - **а)** \( \frac{9\pi}{2} \) \(\frac{9\pi}{2}\) — это больше \(2\pi\). Чтобы найти эквивалентный угол, вычтем два полных оборота \(4\pi\): \[ \frac{9\pi}{2} - 4\pi = \frac{9\pi}{2} - \frac{8\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \] Это соответствует \( \frac{\pi}{2} \). - **б)** \(\frac{5\pi}{2}\) \(\frac{5\pi}{2}\) также больше \(2\pi\). Вычтем один полный оборот \(2\pi\): \[ \frac{5\pi}{2} - 2\pi = \frac{5\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \] Это тоже соответствует \( \frac{\pi}{2} \). - **в)** \(\frac{3\pi}{2}\) Это значение уже на числовой окружности и соответствует \(\frac{3\pi}{2}\). - **г)** \(2\pi\) Это точно \(2\pi\), значит, угол соответствует началу нового оборота и совпадает с \(0\). **Упражнение 12:** Следуя аналогичной логике, проверяем числа. - **а)** \(7\pi\) Вычтем три полных оборота: \[ 7\pi - 6\pi = \pi \] Этому соответствует \(\pi\). - **б)** \(\frac{3\pi}{4}\) Это уже на числовой окружности. - **в)** \(\frac{25\pi}{6}\) Вычтем четыре полных оборота \(4 \times \frac{6\pi}{6} = \frac{24\pi}{6}\): \[ \frac{25\pi}{6} - \frac{24\pi}{6} = \frac{\pi}{6} \] - **г)** \(\frac{-7\pi}{6}\) Это можно представить как \(-\frac{\pi}{6}\), или прибавить \(2\pi\): \[ \frac{-7\pi}{6} + 2\pi = \frac{-7\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \] **Упражнение 13:** - **а)** \(\frac{-5\pi}{6}\) Добавим \(2\pi\): \[ \frac{-5\pi}{6} + 2\pi = \frac{-5\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \] - **б)** \(\frac{11\pi}{3}\) Вычтем три полных оборота: \[ \frac{11\pi}{3} - 6\pi = \frac{11\pi}{3} - \frac{18\pi}{3} = \frac{-7\pi}{3} \] Плюс \(2\pi\): \[ \frac{-7\pi}{3} + 2\pi = \frac{-7\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{-\pi}{3} \] - **в)** \(\pi\) Оно находится прямо на числовой окружности. - **г)** \(3\pi\) Вычтем \(2\pi\): \[ 3\pi - 2\pi = \pi \] Таким образом, для каждого из упражнений найден угол на числовой окружности в пределах от 0 до \(2\pi\).