Решить упражнение 11,12,13 по условию

Для задачи на числовую окружность нам нужно определить, какие из данных чисел соответствуют определённой точке на окружности. Каждый из углов приводится к эквивалентному значению в пределах одного полного оборота, то есть от 0 до \(2\pi\).

Упражнение 11:

Основная задача — определить, к какому углу на числовой окружности приводит каждый из данных в вопросе углов. Мы будем использовать тот факт, что углы на числовой окружности повторяются с периодом \(2\pi\).

Рассмотрим каждый пункт:

• а) \( \frac{9\pi}{2} \)

  \(\frac{9\pi}{2}\) — это больше \(2\pi\). Чтобы найти эквивалентный угол, вычтем два полных оборота \(4\pi\):

  \[ \frac{9\pi}{2} - 4\pi = \frac{9\pi}{2} - \frac{8\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \]

  Это соответствует \( \frac{\pi}{2} \).

• б) \(\frac{5\pi}{2}\)

  \(\frac{5\pi}{2}\) также больше \(2\pi\). Вычтем один полный оборот \(2\pi\):

  \[ \frac{5\pi}{2} - 2\pi = \frac{5\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \]

  Это тоже соответствует \( \frac{\pi}{2} \).

• в) \(\frac{3\pi}{2}\)

  Это значение уже на числовой окружности и соответствует \(\frac{3\pi}{2}\).

• г) \(2\pi\)

  Это точно \(2\pi\), значит, угол соответствует началу нового оборота и совпадает с \(0\).

Упражнение 12:

Следуя аналогичной логике, проверяем числа.

• а) \(7\pi\)

  Вычтем три полных оборота:

  \[ 7\pi - 6\pi = \pi \]

  Этому соответствует \(\pi\).

• б) \(\frac{3\pi}{4}\)

  Это уже на числовой окружности.

• в) \(\frac{25\pi}{6}\)

  Вычтем четыре полных оборота \(4 \times \frac{6\pi}{6} = \frac{24\pi}{6}\):

  \[ \frac{25\pi}{6} - \frac{24\pi}{6} = \frac{\pi}{6} \]

• г) \(\frac{-7\pi}{6}\)

  Это можно представить как \(-\frac{\pi}{6}\), или прибавить \(2\pi\):

  \[ \frac{-7\pi}{6} + 2\pi = \frac{-7\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \]

Упражнение 13:

• а) \(\frac{-5\pi}{6}\)

  Добавим \(2\pi\):

  \[ \frac{-5\pi}{6} + 2\pi = \frac{-5\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \]

• б) \(\frac{11\pi}{3}\)

  Вычтем три полных оборота:

  \[ \frac{11\pi}{3} - 6\pi = \frac{11\pi}{3} - \frac{18\pi}{3} = \frac{-7\pi}{3} \]

  Плюс \(2\pi\):

  \[ \frac{-7\pi}{3} + 2\pi = \frac{-7\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{-\pi}{3} \]

• в) \(\pi\)

  Оно находится прямо на числовой окружности.

• г) \(3\pi\)

  Вычтем \(2\pi\):

  \[ 3\pi - 2\pi = \pi \]

Таким образом, для каждого из упражнений найден угол на числовой окружности в пределах от 0 до \(2\pi\).