Реши уравнение: (x+3)2−16=(1−2x)2(x+3)2−16=(1−2x)2
Решим уравнение пошагово:
У нас есть следующее уравнение:
\[ (x+3)^2 - 16 = (1 - 2x)^2 \]
Шаг 1: Упрощаем левую сторону
Левую часть уравнения можно переписать, поскольку это разность квадратов. Напомним, что разность квадратов \(a^2 - b^2\) раскладывается как \((a-b)(a+b)\). Здесь \(a = (x+3)\) и \(b = 4\), так как \(16 = 4^2\).
Таким образом, имеем:
\[ (x + 3 - 4)(x + 3 + 4) = (x - 1)(x + 7) \]
Следовательно, левую часть уравнения можно записать как:
\[ (x - 1)(x + 7) = (1 - 2x)^2 \]
Шаг 2: Раскрываем правую сторону
Теперь раскроем квадрат правой части:
\[ (1 - 2x)^2 = 1 - 4x + 4x^2 \]
Таким образом, уравнение принимает вид:
\[ (x - 1)(x + 7) = 1 - 4x + 4x^2 \]
Шаг 3: Раскрываем скобки
Теперь раскрываем левую часть уравнения:
\[ x^2 + 7x - x - 7 = x^2 + 6x - 7 \]
Теперь у нас уравнение выглядит так:
\[ x^2 + 6x - 7 = 1 - 4x + 4x^2 \]
Шаг 4: Переносим все на одну сторону уравнения
Переносим все члены в одну сторону:
\[ x^2 + 6x - 7 - 1 + 4x - 4x^2 = 0 \]
Соберем все подобные слагаемые:
\[ -3x^2 + 10x - 8 = 0 \]
Шаг 5: Переписываем уравнение
Умножим уравнение на -1 для удобства:
\[ 3x^2 - 10x + 8 = 0 \]
Шаг 6: Находим корни уравнения
Теперь будем применять дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4 \]
Шаг 7: Находим корни уравнения
Так как дискриминант положительный, у нас два различных корня, которые можем найти по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} \] \[ x_{1,2} = \frac{10 \pm 2}{6} \]
Находим:
- \(x_1 = \frac{12}{6} = 2\)
- \(x_2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)
Ответ
Корни уравнения:
\[ x_1 = 2, \quad x_2 = \frac{4}{3} \]
Теперь мы понимаем, что эти два значения переменной \(x\) решают данное уравнение.
