График функции у=х2 - 4х+1
Чтобы понять, как строится график функции у = х² - 4х + 1, разберем эту функцию шаг за шагом.
Шаг 1: Определение типа функции
Функция у = х² - 4х + 1 — это квадратичная функция. Квадратичная функция имеет форму:
\[ y = ax^2 + bx + c \]
где:
- \( a = 1 \) (коэффициент при \( x^2 \)),
- \( b = -4 \) (коэффициент при \( x \)),
- \( c = 1 \) (свободный член).
Так как \( a > 0 \), график этой функции будет иметь форму параболы, открытой вверх.
Шаг 2: Нахождение вершины параболы
Вершина параболы находится по формуле:
\[ x_v = -\frac{b}{2a} \]
Подставим наши значения:
\[ x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \]
Теперь найдем координату \( y \) вершины, подставив \( x_v \) в уравнение функции:
\[ y_v = (2)^2 - 4 \cdot 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3 \]
Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, -3).
Шаг 3: Нахождение пересечений с осями
Пересечение с осью y:
Для нахождения пересечения с осью y, нам нужно подставить \( x = 0 \):
\[ y(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 1 = 1 \]
Таким образом, точка пересечения с осью y — (0, 1).
Пересечение с осью x:
Чтобы найти пересечения с осью x, решим уравнение:
\[ 0 = x^2 - 4x + 1 \]
Для решения этого уравнения воспользуемся квадратной формулой:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1, b = -4, c = 1 \).
Сначала вычислим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12 \]
Теперь подставим в формулу:
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \]
Таким образом, корни уравнения:
\[ x_1 = 2 + \sqrt{3} \] \[ x_2 = 2 - \sqrt{3} \]
Шаг 4: Построение графика
Теперь, имея координаты интересных точек, можем нарисовать график функции. Основные точки, которые мы знаем:
- Вершина: (2, -3)
- Пересечение с осью y: (0, 1)
- Пересечения с осью x: (2 + √3, 0) и (2 - √3, 0)
Итог
График функции у = х² - 4х + 1 будет представлять собой параболу, открывающуюся вверх, с вершинной точкой в (2, -3), пересечением с осью y в (0, 1) и двумя пересечениями с осью x в точках (2 + √3, 0) и (2 - √3, 0). Вы можете использовать эти точки для построения графика на координатной плоскости.
