Вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна р, вероятность неуспеха равна q = 1 - р. Испытания производятся последовательные, одинаковые и независимые, пока не наступит успех. Отметь вероятность события (выраженного через р или g), если успех случится не позже пятого испытания.

Для решения задачи о вероятности успеха в последовательных независимых испытаниях мы обратимся к концепции геометрического распределения. У нас есть вероятность успеха \(p\) в каждом испытании и вероятность неуспеха \(q = 1 - p\). Мы ищем вероятность того, что успешное испытание произойдёт не позже пятого. ### Шаг 1: Определение ситуации Успех может произойти в любом из первых пяти испытаний. Это значит, что мы можем подумать о всех случаях успеха на 1-м, 2-м, 3-м, 4-м и 5-м испытаниях. ### Шаг 2: Вычисление вероятности успеха 1. **Успех на 1-м испытании:** - Вероятность успеха: \(p\) 2. **Успех на 2-м испытании:** - Первый — неуспех (вероятность \(q\)), второй — успех (вероятность \(p\)): \[ P(\text{успех на 2-м}) = q \cdot p = (1 - p) \cdot p \] 3. **Успех на 3-м испытании:** - Два первых — неуспехи, третий — успех: \[ P(\text{успех на 3-м}) = q^2 \cdot p = (1 - p)^2 \cdot p \] 4. **Успех на 4-м испытании:** - Три первых — неуспехи, четвертый — успех: \[ P(\text{успех на 4-м}) = q^3 \cdot p = (1 - p)^3 \cdot p \] 5. **Успех на 5-м испытании:** - Четыре первых — неуспехи, пятый — успех: \[ P(\text{успех на 5-м}) = q^4 \cdot p = (1 - p)^4 \cdot p \] ### Шаг 3: Сложение вероятностей Теперь мы должны сложить все вероятности успешного испытания на каждом из перечисленных этапов. Общая вероятность успеха не позже пятого испытания будет выглядеть так: \[ P(\text{успех не позже 5-го}) = P(\text{успех на 1-м}) + P(\text{успех на 2-м}) + P(\text{успех на 3-м}) + P(\text{успех на 4-м}) + P(\text{успех на 5-м}) \] Подставляя найденные формулы: \[ P(\text{успех не позже 5-го}) = p + (1 - p) p + (1 - p)^2 p + (1 - p)^3 p + (1 - p)^4 p \] ### Шаг 4: Factor out \(p\) Извлечем \(p\) за скобки: \[ P(\text{успех не позже 5-го}) = p \left( 1 + (1 - p) + (1 - p)^2 + (1 - p)^3 + (1 - p)^4 \right) \] ### Шаг 5: Сумма геометрической прогрессии Сумма внутри скобок - это сумма первых 5 членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем \((1 - p)\): Для суммы 5 первых членов геометрической прогрессии: \[ S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \] где \(a = 1\), \(r = (1 - p)\), и \(n = 5\): \[ S_5 = \frac{1(1 - (1 - p)^5)}{p} = \frac{1 - (1 - p)^5}{p} \] Таким образом, подставляя это значение обратно, мы имеем: \[ P(\text{успех не позже 5-го}) = p \cdot \frac{1 - (1 - p)^5}{p} = 1 - (1 - p)^5 \] ### Заключение Следовательно, вероятность того, что успешное испытание произойдёт не позже пятого, составит: \[ P(\text{успех не позже 5-го}) = 1 - (1 - p)^5 \] Эта формула позволяет определить искомую вероятность, зная вероятность успеха \(p\).