Вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна р, вероятность неуспеха равна q = 1 - р. Испытания производятся последовательные, одинаковые и независимые, пока не наступит…

Для решения задачи о вероятности успеха в последовательных независимых испытаниях мы обратимся к концепции геометрического распределения. У нас есть вероятность успеха \(p\) в каждом испытании и вероятность неуспеха \(q = 1 - p\). Мы ищем вероятность того, что успешное испытание произойдёт не позже пятого.

Шаг 1: Определение ситуации

Успех может произойти в любом из первых пяти испытаний. Это значит, что мы можем подумать о всех случаях успеха на 1-м, 2-м, 3-м, 4-м и 5-м испытаниях.

Шаг 2: Вычисление вероятности успеха

1. Успех на 1-м испытании:

   • Вероятность успеха: \(p\)

2. Успех на 2-м испытании:

   • Первый — неуспех (вероятность \(q\)), второй — успех (вероятность \(p\)): \[ P(\text{успех на 2-м}) = q \cdot p = (1 - p) \cdot p \]

3. Успех на 3-м испытании:

   • Два первых — неуспехи, третий — успех: \[ P(\text{успех на 3-м}) = q^2 \cdot p = (1 - p)^2 \cdot p \]

4. Успех на 4-м испытании:

   • Три первых — неуспехи, четвертый — успех: \[ P(\text{успех на 4-м}) = q^3 \cdot p = (1 - p)^3 \cdot p \]

5. Успех на 5-м испытании:

   • Четыре первых — неуспехи, пятый — успех: \[ P(\text{успех на 5-м}) = q^4 \cdot p = (1 - p)^4 \cdot p \]

Шаг 3: Сложение вероятностей

Теперь мы должны сложить все вероятности успешного испытания на каждом из перечисленных этапов. Общая вероятность успеха не позже пятого испытания будет выглядеть так:

\[ P(\text{успех не позже 5-го}) = P(\text{успех на 1-м}) + P(\text{успех на 2-м}) + P(\text{успех на 3-м}) + P(\text{успех на 4-м}) + P(\text{успех на 5-м}) \]

Подставляя найденные формулы:

\[ P(\text{успех не позже 5-го}) = p + (1 - p) p + (1 - p)^2 p + (1 - p)^3 p + (1 - p)^4 p \]

Шаг 4: Factor out \(p\)

Извлечем \(p\) за скобки:

\[ P(\text{успех не позже 5-го}) = p \left( 1 + (1 - p) + (1 - p)^2 + (1 - p)^3 + (1 - p)^4 \right) \]

Шаг 5: Сумма геометрической прогрессии

Сумма внутри скобок - это сумма первых 5 членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем \((1 - p)\):

Для суммы 5 первых членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \]

где \(a = 1\), \(r = (1 - p)\), и \(n = 5\):

\[ S_5 = \frac{1(1 - (1 - p)^5)}{p} = \frac{1 - (1 - p)^5}{p} \]

Таким образом, подставляя это значение обратно, мы имеем:

\[ P(\text{успех не позже 5-го}) = p \cdot \frac{1 - (1 - p)^5}{p} = 1 - (1 - p)^5 \]

Заключение

Следовательно, вероятность того, что успешное испытание произойдёт не позже пятого, составит:

\[ P(\text{успех не позже 5-го}) = 1 - (1 - p)^5 \]

Эта формула позволяет определить искомую вероятность, зная вероятность успеха \(p\).