Для решения задачи о площади параллелограмма, зная длины смежных сторон и один из углов, воспользуемся формулой для площади параллелограмма через стороны и угол между ними.
Пусть ( a = 14 ) см, ( b = 26 ) см, и угол ( \angle = 120^\circ ).
Площадь параллелограмма ( S ) можно найти по формуле:
[
S = ab \sin\theta
]
где ( \theta ) — угол между сторонами ( a ) и ( b ).
Однако, мы решаем задачу без использования синусов и косинусов. Сначала упростим угол 120°.
Разложение угла 120°
Угол 120° можно записать как ( 180^\circ - 60^\circ ). Из-за этого угол между высотой и боковой стороной будет ( 60^\circ ).
Построим высоту
У параллелограмма с углом 120° одна из высот (относительно стороны ( b )) образует угол в ( 60^\circ ) с этой стороной. Высота опустится перпендикулярно стороне ( b ), которую принимаем за основание.
Теперь заметим, что в данном случае можно провести высоту от вершины, противоположной стороне ( b ), и опустив её перпендикулярно к стороне ( b ). Известно, что в треугольнике с углами 60° и 90° одна из сторон равна половине противоположной:
Определим высоту ( h ) как:
[
h = a \cdot \sin(60^\circ)
]
где ( a = 14 ) и ( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ).
[
h = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}
]
Площадь параллелограмма
Площадь ( S ) равна произведению основания ( b ) и высоты ( h ):
[
S = b \cdot h = 26 \cdot 7\sqrt{3} = 182\sqrt{3} , \text{см}^2
]
Таким образом, площадь параллелограмма равна ( 182\sqrt{3} , \text{см}^2 ).
