Смежные стороны параллелограмма равны 14 см и 26 см, а один из углов равен 120°. Найдите площадь парал-лелограмма.Реши эту задачу без синосов и косинусов

Для решения задачи о площади параллелограмма, зная длины смежных сторон и один из углов, воспользуемся формулой для площади параллелограмма через стороны и угол между ними.

Пусть \( a = 14 \) см, \( b = 26 \) см, и угол \( \angle = 120^\circ \).

Площадь параллелограмма \( S \) можно найти по формуле:

\[ S = ab \sin\theta \]

где \( \theta \) — угол между сторонами \( a \) и \( b \).

Однако, мы решаем задачу без использования синусов и косинусов. Сначала упростим угол 120°.

Разложение угла 120°

Угол 120° можно записать как \( 180^\circ - 60^\circ \). Из-за этого угол между высотой и боковой стороной будет \( 60^\circ \).

Построим высоту

У параллелограмма с углом 120° одна из высот (относительно стороны \( b \)) образует угол в \( 60^\circ \) с этой стороной. Высота опустится перпендикулярно стороне \( b \), которую принимаем за основание.

Теперь заметим, что в данном случае можно провести высоту от вершины, противоположной стороне \( b \), и опустив её перпендикулярно к стороне \( b \). Известно, что в треугольнике с углами 60° и 90° одна из сторон равна половине противоположной:

Определим высоту \( h \) как:

\[ h = a \cdot \sin(60^\circ) \]

где \( a = 14 \) и \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\[ h = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3} \]

Площадь параллелограмма

Площадь \( S \) равна произведению основания \( b \) и высоты \( h \):

\[ S = b \cdot h = 26 \cdot 7\sqrt{3} = 182\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь параллелограмма равна \( 182\sqrt{3} \, \text{см}^2 \).