y²-x=-1 x=y+3

Для решения системы уравнений

\[ y^2 - x = -1 \] \[ x = y + 3 \]

мы будем использовать метод подстановки. Давайте поэтапно разберём, как это сделать.

Шаг 1: Подставить одно уравнение в другое

Первое уравнение можно переписать, выразив \(x\):

\[ x = y^2 + 1 \]

Теперь у нас есть два выражения для \(x\):

1. \(x = y^2 + 1\)
2. \(x = y + 3\)

Шаг 2: Приравнять оба выражения

Теперь мы можем приравнять оба выражения для \(x\):

\[ y^2 + 1 = y + 3 \]

Шаг 3: Переместить все члены в одну сторону

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

\[ y^2 - y + 1 - 3 = 0 \]

Упрощаем:

\[ y^2 - y - 2 = 0 \]

Шаг 4: Решить квадратное уравнение

Теперь мы можем решить квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -2\).

Сначала находим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

Теперь подставляем в формулу:

\[ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2} \]

Шаг 5: Находим корни

Теперь находим значения \(y\):

1. \(y_1 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
2. \(y_2 = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)

Шаг 6: Подставить найденные \(y\) в одно из уравнений для нахождения \(x\)

Теперь, зная \(y\), подставим их обратно в одно из уравнений, чтобы найти соответствующие значения \(x\).

Для \(y = 2\):

\[ x = y + 3 = 2 + 3 = 5 \]

Для \(y = -1\):

\[ x = y + 3 = -1 + 3 = 2 \]

Шаг 7: Получаем решение

Таким образом, у нас есть два решения для системы уравнений:

1. \( (x, y) = (5, 2) \)
2. \( (x, y) = (2, -1) \)

Ответ

Решения системы уравнений:

1. \( (5, 2) \)
2. \( (2, -1) \)

Эти точки являются пересечениями графиков данных уравнений.