ПримерыI. Вычислите приращение функции f(x) в произвольной точке хо, если: 1) f(x)=3x-8; 2) f(x)=2-x2; 3) f(x)=x3 +3; 4) f(x)=/5x ; 5) f(x)=6/х 6) f(x)=7"; 7) f(x)=sin х/2 8)…

Чтобы вычислить приращение функции \( f(x) \) в произвольной точке \( x_0 \), нужно использовать формулу приращения:

\[ \Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \]

где \( \Delta x \) — это небольшое изменение переменной \( x \). В общем случае, чтобы понять, как вычислить приращение, рассмотрим каждую функцию шаг за шагом.

Пример 1: \( f(x) = 3x - 8 \)

1. Вычисляем \( f(x_0 + \Delta x) \): \[ f(x_0 + \Delta x) = 3(x_0 + \Delta x) - 8 = 3x_0 + 3\Delta x - 8 \]

2. Теперь найдем \( f(x_0) \): \[ f(x_0) = 3x_0 - 8 \]

3. Вычислим приращение: \[ \Delta f = (3x_0 + 3\Delta x - 8) - (3x_0 - 8) = 3\Delta x \]

Пример 2: \( f(x) = 2 - x^2 \)

1. Вычисляем \( f(x_0 + \Delta x) \): \[ f(x_0 + \Delta x) = 2 - (x_0 + \Delta x)^2 = 2 - (x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) \]

2. Теперь найдем \( f(x_0) \): \[ f(x_0) = 2 - x_0^2 \]

3. Вычислим приращение: \[ \Delta f = \left( 2 - (x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) \right) - (2 - x_0^2) = -2x_0\Delta x - (\Delta x)^2 \]

Пример 3: \( f(x) = x^3 + 3 \)

1. Вычисляем \( f(x_0 + \Delta x) \): \[ f(x_0 + \Delta x) = (x_0 + \Delta x)^3 + 3 \] Раскроем куб: \[ f(x_0 + \Delta x) = x_0^3 + 3x_0^2\Delta x + 3x_0(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 + 3 \]

2. Теперь найдем \( f(x_0) \): \[ f(x_0) = x_0^3 + 3 \]

3. Вычислим приращение: \[ \Delta f = (x_0^3 + 3x_0^2\Delta x + 3x_0(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 + 3) - (x_0^3 + 3) = 3x_0^2\Delta x + 3x_0(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 \]

Пример 4: \( f(x) = \frac{5}{x} \)

1. Вычисляем \( f(x_0 + \Delta x) \): \[ f(x_0 + \Delta x) = \frac{5}{x_0 + \Delta x} \]

2. Найдем \( f(x_0) \): \[ f(x_0) = \frac{5}{x_0} \]

3. Вычислим приращение: \[ \Delta f = \frac{5}{x_0 + \Delta x} - \frac{5}{x_0} \] Для удобства можно привести к общему знаменателю: \[ \Delta f = \frac{5x_0 - 5(x_0 + \Delta x)}{x_0(x_0 + \Delta x)} = \frac{-5\Delta x}{x_0(x_0 + \Delta x)} \]

Пример 5: \( f(x) = \frac{6}{x} \)

Аналогично, результат будет: \[ \Delta f = \frac{-6\Delta x}{x_0(x_0 + \Delta x)} \]

Пример 6: \( f(x) = 7 \)

Здесь функция постоянна, поэтому: \[ \Delta f = 7 - 7 = 0 \]

Пример 7: \( f(x) = \sin \frac{x}{2} \)

1. Вычисляем \( f(x_0 + \Delta x) \): \[ f(x_0 + \Delta x) = \sin \frac{x_0 + \Delta x}{2} = \sin\left(\frac{x_0}{2} + \frac{\Delta x}{2}\right) \]

2. Найдем \( f(x_0) \): \[ f(x_0) = \sin \frac{x_0}{2} \]

3. Для вычисления приращения: \[ \Delta f = \sin\left(\frac{x_0}{2} + \frac{\Delta x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x_0}{2}\right) \]

Используя тригонометрическую формулу разности синусов: \[ \Delta f = 2 \cos\left(\frac{x_0}{2} + \frac{\Delta x}{4}\right) \cdot \sin\left(\frac{\Delta x}{4}\right) \]

Пример 8: \( f(x) = 1 - \cos x \)

1. Вычисляем \( f(x_0 + \Delta x) \): \[ f(x_0 + \Delta x) = 1 - \cos(x_0 + \Delta x) \]

2. Найдем \( f(x_0) \): \[ f(x_0) = 1 - \cos(x_0) \]

3. Таким образом: \[ \Delta f = (1 - \cos(x_0 + \Delta x)) - (1 - \cos(x_0)) = \cos(x_0) - \cos(x_0 + \Delta x) \]

Пример 9: \( f(x) = \tan(3x) \)

1. Вычисляем \( f(x_0 + \Delta x) \): \[ f(x_0 + \Delta x) = \tan(3(x_0 + \Delta x)) = \tan(3x_0 + 3\Delta x) \]

2. Найдем \( f(x_0) \): \[ f(x_0) = \tan(3x_0) \]

3. Таким образом: \[ \Delta f = \tan(3x_0 + 3\Delta x) - \tan(3x_0) \]

Таким образом, для каждой функции вы получили пошаговые инструкции по вычислению приращений. Если у вас есть дополнительный вопрос по конкретной задаче, не стесняйтесь задавать!