Реши

Давайте разберем задачу.

Условие:

Дана арифметическая прогрессия, где \( a_2 = 3d \) и \( a_4 = 20 \). Необходимо найти разность прогрессии \( d \) так, чтобы произведение \( a_3 \) и \( a_5 \) было минимально возможным.

Арифметическая прогрессия:

Формула для \( n \)-ого члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]

Дано:

1. Второй член: \[ a_2 = a_1 + d = 3d \]

2. Четвертый член: \[ a_4 = a_1 + 3d = 20 \]

Выразим \( a_1 \):

Из второго уравнения: \[ a_1 + d = 3d \Rightarrow a_1 = 2d \]

Теперь подставим \( a_1 = 2d \) во второе уравнение:

\[ 2d + 3d = 20 \]

\[ 5d = 20 \]

\[ d = 4 \]

Теперь, зная, что \( d = 4 \), найдем \( a_3 \) и \( a_5 \):

• Третий член: \[ a_3 = a_1 + 2d = 2d + 2d = 4d = 16 \]

• Пятый член: \[ a_5 = a_1 + 4d = 2d + 4d = 6d = 24 \]

Произведение \( a_3 \) и \( a_5 \):

\[ a_3 \cdot a_5 = 16 \cdot 24 = 384 \]

Таким образом, минимальное значение для произведения \( a_3 \) и \( a_5 \), когда разность прогрессии \( d = 4 \), составляет 384.

Таким образом, разность прогрессии \( d = 4 \).