найдите 7 член и суму первых семи чисел геометрической прогрессии если а1=-32 q=1/2
Чтобы решить эту задачу, давайте вспомним формулы, которые описывают геометрическую прогрессию.
В геометрической прогрессии первый член обозначается как \( a_1 \), и каждый следующий член получается умножением предыдущего на общее отношение (или показатель) прогрессии \( q \).
Выражение для n-го члена геометрической прогрессии:
Формула для n-го члена геометрической прогрессии выглядит так:
\[ a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} \]
где:
- \( a_n \) — n-й член прогрессии,
- \( a_1 \) — первый член прогрессии,
- \( q \) — общее отношение,
- \( n \) — номер члена.
Найдем 7-й член ( \( a_7 \) ):
Подставим известные значения в формулу:
\[ a_1 = -32, \quad q = \frac{1}{2}, \quad n = 7 \]
Теперь подставим эти значения в формулу:
\[ a_7 = -32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{(7-1)} = -32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 \]
Расчитаем \( \left(\frac{1}{2}\right)^6 \):
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64} \]
Теперь подставим это значение:
\[ a_7 = -32 \cdot \frac{1}{64} = -\frac{32}{64} = -\frac{1}{2} = -0.5 \]
Итак, 7-й член прогрессии \( a_7 = -0.5 \).
Найдем сумму первых 7 членов ( \( S_7 \) ):
Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
\[ S_n = \frac{a_1 \cdot (1 - q^n)}{1 - q} \quad \text{(если } q \neq 1\text{)} \]
Подставим значения для первой суммы семи членов, где \( n = 7 \):
\[ S_7 = \frac{-32 \cdot (1 - (1/2)^7)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{-32 \cdot (1 - \frac{1}{128})}{\frac{1}{2}} \]
Упростим это:
- Сначала найдем \( (1 - \frac{1}{128}) \):
\[ 1 - \frac{1}{128} = \frac{128 - 1}{128} = \frac{127}{128} \]
- Теперь подставим это значение:
\[ S_7 = \frac{-32 \cdot \frac{127}{128}}{\frac{1}{2}} = -32 \cdot \frac{127}{128} \cdot 2 = -32 \cdot \frac{254}{128} = -32 \cdot \frac{127}{64} \]
- Упрощаем:
\[ -32 \cdot \frac{127}{64} = -\frac{32 \cdot 127}{64} = -\frac{4064}{64} = -63.5 \]
Теперь у нас есть результаты:
- 7-й член: \( a_7 = -0.5 \)
- Сумма первых 7 членов: \( S_7 = -63.5 \)
Таким образом, мы нашли 7-й член и сумму первых семи чисел геометрической прогрессии.
