Найдите 7 член и суму первых семи чисел геометрической прогрессии если а1=-32 q=1/2

Чтобы решить эту задачу, давайте вспомним формулы, которые описывают геометрическую прогрессию. В геометрической прогрессии первый член обозначается как \( a_1 \), и каждый следующий член получается умножением предыдущего на общее отношение (или показатель) прогрессии \( q \). 1. **Выражение для n-го члена геометрической прогрессии:** Формула для n-го члена геометрической прогрессии выглядит так: \[ a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} \] где: - \( a_n \) — n-й член прогрессии, - \( a_1 \) — первый член прогрессии, - \( q \) — общее отношение, - \( n \) — номер члена. 2. **Найдем 7-й член ( \( a_7 \) ):** Подставим известные значения в формулу: \[ a_1 = -32, \quad q = \frac{1}{2}, \quad n = 7 \] Теперь подставим эти значения в формулу: \[ a_7 = -32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{(7-1)} = -32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 \] Расчитаем \( \left(\frac{1}{2}\right)^6 \): \[ \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64} \] Теперь подставим это значение: \[ a_7 = -32 \cdot \frac{1}{64} = -\frac{32}{64} = -\frac{1}{2} = -0.5 \] Итак, 7-й член прогрессии \( a_7 = -0.5 \). 3. **Найдем сумму первых 7 членов ( \( S_7 \) ):** Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{a_1 \cdot (1 - q^n)}{1 - q} \quad \text{(если } q \neq 1\text{)} \] Подставим значения для первой суммы семи членов, где \( n = 7 \): \[ S_7 = \frac{-32 \cdot (1 - (1/2)^7)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{-32 \cdot (1 - \frac{1}{128})}{\frac{1}{2}} \] Упростим это: - Сначала найдем \( (1 - \frac{1}{128}) \): \[ 1 - \frac{1}{128} = \frac{128 - 1}{128} = \frac{127}{128} \] - Теперь подставим это значение: \[ S_7 = \frac{-32 \cdot \frac{127}{128}}{\frac{1}{2}} = -32 \cdot \frac{127}{128} \cdot 2 = -32 \cdot \frac{254}{128} = -32 \cdot \frac{127}{64} \] - Упрощаем: \[ -32 \cdot \frac{127}{64} = -\frac{32 \cdot 127}{64} = -\frac{4064}{64} = -63.5 \] Теперь у нас есть результаты: - **7-й член:** \( a_7 = -0.5 \) - **Сумма первых 7 членов:** \( S_7 = -63.5 \) Таким образом, мы нашли 7-й член и сумму первых семи чисел геометрической прогрессии.