Решить
Давайте решим данную систему уравнений:
\[ \begin{cases} x + 2y - 3z = 6 \\ 3x - y - 3z = 14 \\ x + 2y - 2z = 3 \end{cases} \]
Цель: Найти значение \( z_0 \).
Шаг 1: Исключение переменной
Первым делом устраним \( x \) из второго и третьего уравнения.
- Из первого уравнения выразим \( x = 6 - 2y + 3z \).
- Подставим \( x \) в второе и третье уравнение:
Для второго уравнения:
\[ 3(6 - 2y + 3z) - y - 3z = 14 \]
Раскроем скобки: \[ 18 - 6y + 9z - y - 3z = 14 \]
Соберём выражения с одинаковыми переменными: \[ -7y + 6z = -4 \]
Перепишем: \[ 7y - 6z = 4 \quad \text{(Уравнение 4)} \]
Для третьего уравнения:
\[ 6 - 2y + 3z + 2y - 2z = 3 \]
Сократим: \[ 6 + z = 3 \]
Решим: \[ z = 3 - 6 = -3 \]
Шаг 2: Проверка решения
Проверим \( z = -3 \) в \( \text{Уравнении 4} \):
\[ 7y - 6(-3) = 4 \]
\[ 7y + 18 = 4 \]
\[ 7y = 4 - 18 = -14 \]
\[ y = -2 \]
Теперь выразим \( x \) из уравнения: \[ x = 6 - 2(-2) + 3(-3) \]
\[ x = 6 + 4 - 9 \]
\[ x = 1 \]
Шаг 3: Подставим в систему
Первое уравнение: \( 1 + 2(-2) - 3(-3) = 6 \)
- \( 1 - 4 + 9 = 6 \), верно.
Второе уравнение: \( 3(1) - (-2) - 3(-3) = 14 \)
- \( 3 + 2 + 9 = 14 \), верно.
Третье уравнение: \( 1 + 2(-2) - 2(-3) = 3 \)
- \( 1 - 4 + 6 = 3 \), верно.
Таким образом, решение системы уравнений верное.
Ответ
Значение \( z_0 = -3 \).
