Чтобы решить задачу, начнём с нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см, а затем попробуем найти гипотенузу подобного треугольника, имеющего площадь 480 см².
Шаг 1: Нахождение гипотенузы
В прямоугольном треугольнике гипотенуза ( c ) может быть найдена по теореме Пифагора:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2}
]
где ( a ) и ( b ) — длины катетов. В нашем случае:
- ( a = 5 ) см
- ( b = 12 ) см
Подставим значения:
[
c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}
]
Итак, гипотенуза данного прямоугольного треугольника равна 13 см.
Шаг 2: Нахождение коэффициента подобия
У нас есть прямоугольный треугольник, которому мы нашли гипотенузу, и известна его площадь, равная 480 см². Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
где ( a ) и ( b ) — катеты. Для нашего треугольника:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30 \text{ см}^2
]
Теперь у нас есть площадь оригинального треугольника (30 см²) и площадь подобного треугольника (480 см²).
Шаг 3: Находим коэффициент подобия
Коэффициент подобия ( k ) между подобными фигурами можно определить через отношение их площадей:
[
k^2 = \frac{S_2}{S_1}
]
где ( S_2 ) — площадь подобного треугольника, а ( S_1 ) — площадь оригинального треугольника:
[
k^2 = \frac{480}{30} = 16
]
[
k = \sqrt{16} = 4
]
Шаг 4: Нахождение гипотенузы подобного треугольника
Гипотенуза подобного треугольника ( c_2 ) будет в ( k ) раз больше, чем гипотенуза оригинального треугольника:
[
c_2 = k \cdot c = 4 \cdot 13 = 52 \text{ см}
]
Ответ
Гипотенуза подобного треугольника равна 52 см.
