Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найдите гипотенузу треугольника, подобного данному, если его площадь равна 480 см²

Чтобы решить задачу, начнём с нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см, а затем попробуем найти гипотенузу подобного треугольника, имеющего площадь 480 см².

Шаг 1: Нахождение гипотенузы

В прямоугольном треугольнике гипотенуза \( c \) может быть найдена по теореме Пифагора:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

где \( a \) и \( b \) — длины катетов. В нашем случае:

• \( a = 5 \) см
• \( b = 12 \) см

Подставим значения:

\[ c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см} \]

Итак, гипотенуза данного прямоугольного треугольника равна 13 см.

Шаг 2: Нахождение коэффициента подобия

У нас есть прямоугольный треугольник, которому мы нашли гипотенузу, и известна его площадь, равная 480 см². Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

где \( a \) и \( b \) — катеты. Для нашего треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30 \text{ см}^2 \]

Теперь у нас есть площадь оригинального треугольника (30 см²) и площадь подобного треугольника (480 см²).

Шаг 3: Находим коэффициент подобия

Коэффициент подобия \( k \) между подобными фигурами можно определить через отношение их площадей:

\[ k^2 = \frac{S_2}{S_1} \]

где \( S_2 \) — площадь подобного треугольника, а \( S_1 \) — площадь оригинального треугольника:

\[ k^2 = \frac{480}{30} = 16 \] \[ k = \sqrt{16} = 4 \]

Шаг 4: Нахождение гипотенузы подобного треугольника

Гипотенуза подобного треугольника \( c_2 \) будет в \( k \) раз больше, чем гипотенуза оригинального треугольника:

\[ c_2 = k \cdot c = 4 \cdot 13 = 52 \text{ см} \]

Ответ

Гипотенуза подобного треугольника равна 52 см.