Периметр прямоугольника равен 82 см а его площадь 420 см². Найдите длины сторон прямоугольника

Давайте подробным образом решим задачу о нахождении сторон прямоугольника, зная его периметр и площадь.

1. Обозначения: Пусть длина прямоугольника равна \( l \) см, а ширина — \( w \) см.

2. Даны условия:

   • Периметр \( P \) прямоугольника равен 82 см: \[ P = 2l + 2w = 82 \]
   • Площадь \( S \) прямоугольника равна 420 см²: \[ S = l \times w = 420 \]

3. Система уравнений: У нас есть система из двух уравнений: \[ 1) \quad 2l + 2w = 82 \] \[ 2) \quad lw = 420 \]

4. Упростим первое уравнение: Разделим первое уравнение на 2: \[ l + w = 41 \] Теперь мы можем выразить \( w \) через \( l \): \[ w = 41 - l \]

5. Подставим \( w \) во второе уравнение: Теперь подставим это выражение для \( w \) во второе уравнение: \[ l(41 - l) = 420 \] Раскроем скобки: \[ 41l - l^2 = 420 \]

6. Приведём уравнение к стандартному виду: Переставим уравнение: \[ l^2 - 41l + 420 = 0 \]

7. Решим квадратное уравнение: Мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ l = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -41 \), \( c = 420 \): \[ l = \frac{41 \pm \sqrt{(-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 420}}{2 \cdot 1} \] \[ l = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 1680}}{2} \] \[ l = \frac{41 \pm \sqrt{1}}{2} \] \[ l = \frac{41 \pm 1}{2} \]

   Теперь найдём два значения для \( l \):

   • Если берем \( +1 \): \[ l = \frac{42}{2} = 21 \]
   • Если берем \( -1 \): \[ l = \frac{40}{2} = 20 \]

8. Находим ширину \( w \): Теперь найдем \( w \) для каждого \( l \):

   • Если \( l = 21 \): \[ w = 41 - 21 = 20 \]
   • Если \( l = 20 \): \[ w = 41 - 20 = 21 \]

9. Итог: Таким образом, длины сторон прямоугольника:

   • Длина: 21 см
   • Ширина: 20 см

Ответ в задаче: длина стороны — 21 см, ширина стороны — 20 см.