Периметр прямоугольника равен 82 см а его площадь 420 см². Найдите длины сторон прямоугольника

Давайте подробным образом решим задачу о нахождении сторон прямоугольника, зная его периметр и площадь. 1. **Обозначения:** Пусть длина прямоугольника равна \( l \) см, а ширина — \( w \) см. 2. **Даны условия:** - Периметр \( P \) прямоугольника равен 82 см: \[ P = 2l + 2w = 82 \] - Площадь \( S \) прямоугольника равна 420 см²: \[ S = l \times w = 420 \] 3. **Система уравнений:** У нас есть система из двух уравнений: \[ 1) \quad 2l + 2w = 82 \] \[ 2) \quad lw = 420 \] 4. **Упростим первое уравнение:** Разделим первое уравнение на 2: \[ l + w = 41 \] Теперь мы можем выразить \( w \) через \( l \): \[ w = 41 - l \] 5. **Подставим \( w \) во второе уравнение:** Теперь подставим это выражение для \( w \) во второе уравнение: \[ l(41 - l) = 420 \] Раскроем скобки: \[ 41l - l^2 = 420 \] 6. **Приведём уравнение к стандартному виду:** Переставим уравнение: \[ l^2 - 41l + 420 = 0 \] 7. **Решим квадратное уравнение:** Мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ l = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -41 \), \( c = 420 \): \[ l = \frac{41 \pm \sqrt{(-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 420}}{2 \cdot 1} \] \[ l = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 1680}}{2} \] \[ l = \frac{41 \pm \sqrt{1}}{2} \] \[ l = \frac{41 \pm 1}{2} \] Теперь найдём два значения для \( l \): - Если берем \( +1 \): \[ l = \frac{42}{2} = 21 \] - Если берем \( -1 \): \[ l = \frac{40}{2} = 20 \] 8. **Находим ширину \( w \):** Теперь найдем \( w \) для каждого \( l \): - Если \( l = 21 \): \[ w = 41 - 21 = 20 \] - Если \( l = 20 \): \[ w = 41 - 20 = 21 \] 9. **Итог:** Таким образом, длины сторон прямоугольника: - Длина: 21 см - Ширина: 20 см Ответ в задаче: длина стороны — 21 см, ширина стороны — 20 см.