.
Для решения задачи, нужно определить, какое из предложенных неравенств соответствует области, изображенной на числовой прямой.
На рисунке нашло отражение бесконечное множество чисел от 0 до 5, не включая сами 0 и 5. Эту область можно записать в виде двойного неравенства: \(0 < x < 5\).
Теперь проверим каждое из предложенных неравенств:
\(x^2 - 5x < 0\)
Решим неравенство:
\[ x(x - 5) < 0 \]
Используем метод интервалов. Найдем корни уравнения \(x(x - 5) = 0\), они равны 0 и 5. На числовой прямой эти корни делят ось на интервалы \((-∞, 0)\), \( (0, 5) \), и \( (5, ∞)\). Проверим знак выражения \(x(x - 5)\) на каждом интервале:
- Для \((-∞, 0)\), подставим \(x = -1\), знак отрицательный.
- Для \( (0, 5) \), подставим \(x = 1\), знак положительный.
- Для \( (5, ∞)\), подставим \(x = 6\), знак положительный.
Выражение \(x(x - 5) < 0\) выполняется на промежутке \((0, 5)\).
Это соответствует области, изображенной на числовой прямой.
\(x^2 - 5x > 0\)
Согласно проведенному выше анализу, это неравенство будет выполняться на интервалах \((-∞, 0)\) и \((5, ∞)\), что не соответствует изображенной области.
\(x^2 - 25 > 0\)
Решим неравенство:
\[ (x - 5)(x + 5) > 0 \]
Корни уравнения \(x^2 - 25 = 0\) равны 5 и -5. На числовой прямой это:
- На интервале \((-∞, -5)\) знак положительный.
- На интервале \((-5, 5)\) знак отрицательный.
- На интервале \( (5, ∞)\) знак положительный.
Неравенство выполняется на \((-∞, -5)\) и \((5, ∞)\), что не соответствует изображенной области.
\(x^2 - 25 < 0\)
Это неравенство выполняется на \((-5, 5)\), что не соответствует изображенной области, так как область должна лежать только в положительных значениях без включения -5.
Следовательно, правильный ответ: номер 1.
