Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x + e^-2 на отрезке [- 1; 2]
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( f(x) = x + e^{-2} \) на отрезке \([-1; 2]\), будем следовать определённым шагам.
Шаг 1: Исследование функции
Мы имеем функцию \( f(x) = x + e^{-2} \). Заметим, что \( e^{-2} \) — это просто константа. Оно приближённо равно \( 0.1353 \), но для анализа это значение не столь важно, так как оно не зависит от \( x \).
Шаг 2: Найти производную
Для нахождения максимумов и минимумов функции, найдем производную:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x + e^{-2}) = 1 \]
Шаг 3: Определение критических точек
Производная \( f'(x) = 1 \) постоянна и не равна нулю для всех \( x \). Это значит, что функция не имеет критических точек на интервале \([-1; 2]\). В данном случае функция возрастает на всем промежутке.
Шаг 4: Вычисление значений функции на границах
Так как функция является возрастающей на отрезке, наибольшее значение будет на правом конце отрезка, а наименьшее — на левом.
- Вычислим значение функции на левом конце отрезка:
\[ f(-1) = -1 + e^{-2} \approx -1 + 0.1353 \approx -0.8647 \]
- Вычислим значение функции на правом конце отрезка:
\[ f(2) = 2 + e^{-2} \approx 2 + 0.1353 \approx 2.1353 \]
Шаг 5: Определение наибольшего и наименьшего значений
Теперь, учитывая найденные значения:
- Наименьшее значение на отрезке \([-1; 2]\): \( f(-1) \approx -0.8647 \)
- Наибольшее значение на отрезке \([-1; 2]\): \( f(2) \approx 2.1353 \)
Ответ
Наименьшее значение функции: \( f(-1) \approx -0.8647 \).
Наибольшее значение функции: \( f(2) \approx 2.1353 \).
