На рисунке 13 изображён пятиугольник ABCDE, вписанный в окружность с центром в точке O. Известно, что величина дуги CD этой окружности равна 102∘, ∠ACB= 33∘, ∠CDA= 65∘. Найдите…
На рисунке 13 изображён пятиугольник ABCDE, вписанный в окружность с центром в точке O. Известно, что величина дуги CD этой окружности равна 102∘, ∠ACB= 33∘, ∠CDA= 65∘. Найдите величины углов BEA, AEC и ECD.
Решим задачу, определяя величины углов \( \angle BEA \), \( \angle AEC \) и \( \angle ECD \).
Угол \( \angle BEA \)
Из условия мы знаем, что \( \angle ACB = 33^\circ \). Угол \( \angle ACB \) является вписанным углом, который опирается на дугу \( AB \). Дуга \( AB \) является частью окружности, и вписанный угол равен половине центрального угла, который опирается на ту же дугу. Поскольку \( \angle ACB \) опирается на ту же дугу, что и \( \angle BEA \), то:
\[ \angle BEA = \angle ACB = 33^\circ \]
Угол \( \angle AEC \)
Поскольку пятиугольник \( ABCDE \) вписан в окружность, угол \( \angle AEC \) является внешним для треугольника \( \triangle ACD \) и равен разности углов \( \angle CDA \) и \( \angle ACB \):
\[ \angle AEC = \angle CDA - \angle ACB = 65^\circ - 33^\circ = 32^\circ \]
Угол \( \angle ECD \)
Нужно определить величину угла \( \angle ECD \). Мы знаем, что угол, опирающийся на дугу \( CD \) (вписанный угол), и равен половине её величины:
\[ \angle ECD = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } CD = \frac{1}{2} \cdot 102^\circ = 51^\circ \]
Таким образом, найденные углы:
- \( \angle BEA = 33^\circ \)
- \( \angle AEC = 32^\circ \)
- \( \angle ECD = 51^\circ \)
