Реши

Чтобы решить задачу 7.3, следуем этим шагам:

Дана функция:

\[ f(x) = \frac{-1}{x+2} - 1 \]

1. Область определения:

   • Нельзя делить на ноль, значит, \(x+2 \neq 0\).
   • Область определения: \(x \neq -2\).

2. Асимптоты:

   • Вертикальная асимптота: при \(x = -2\).
   • Горизонтальная асимптота: при \(x \to \infty\) или \(x \to -\infty\), \(f(x) \to -1\).

3. Пересечение с осями:

   • Пересечение с осью \(y\): при \(x = 0\), \[ f(0) = \frac{-1}{0+2} - 1 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2} \]
   • Пересечение с осью \(x\) происходит, когда \(f(x) = 0\), \[ \frac{-1}{x+2} - 1 = 0 \Rightarrow \frac{-1}{x+2} = 1 \Rightarrow x+2 = -1 \Rightarrow x = -3 \]

4. Симметрия:

   • Проверим, является ли функция чётной или нечётной. Подставим \(-x\) в \(f(x)\): \[ f(-x) = \frac{-1}{-x+2} - 1 \]
   • Функция не является ни чётной (так как \(f(-x) \neq f(x)\)), ни нечётной (так как \(f(-x) \neq -f(x)\)).

5. График функции:

   • Поскольку у нас есть информация об асимптотах и точках пересечения, график следует строить с учётом вертикального и горизонтального сдвига гиперболы. Гипербола будет перевёрнута и смещена вниз на 1 единицу, а также сдвинута влево на 2 единицы.

Таким образом, функция \( f(x) = \frac{-1}{x+2} - 1 \) имеет вертикальную асимптоту при \( x = -2 \), горизонтальную при \( y = -1 \), пересекает ось \( x \) в точке \( x = -3 \) и ось \( y \) в точке \( y = -\frac{3}{2} \). С учётом этих точек можно построить график функции.