Решим задачу шаг за шагом.
Обозначим переменные:
- Пусть скорость первого автомобилиста (которая при этом меньше 65 км/ч) будет равна ( v_1 ) км/ч.
- Скорость второго автомобилиста на первой половине пути (меньше на 17 км/ч) будет равна ( v_1 - 17 ) км/ч.
- Скорость второго автомобилиста на второй половине пути равна 102 км/ч.
Обозначим расстояние:
- Пусть общее расстояние от точки А до точки В равно ( S ) км.
- Тогда первая половина пути равна ( \frac{S}{2} ) км.
Время в пути для первого автомобилиста:
Первый автомобилист проезжает всё расстояние ( S ) с постоянной скоростью ( v_1 ). Время, затраченное первым автомобилистом, будет равно:
[
t_1 = \frac{S}{v_1}
]
Время в пути для второго автомобилиста:
Время, затраченное вторым автомобилистом, составляется из двух частей:
- Для первой половины пути:
[
t_{2,1} = \frac{\frac{S}{2}}{v_1 - 17}
]
- Для второй половины пути:
[
t_{2,2} = \frac{\frac{S}{2}}{102}
]
Суммарное время для второго автомобилиста:
[
t_2 = t_{2,1} + t_{2,2} = \frac{\frac{S}{2}}{v_1 - 17} + \frac{\frac{S}{2}}{102}
]
Из условия задачи известно, что оба автомобилиста прибыли одновременно:
[
t_1 = t_2
]
То есть:
[
\frac{S}{v_1} = \frac{\frac{S}{2}}{v_1 - 17} + \frac{\frac{S}{2}}{102}
]
Упростим уравнение:
Сначала выразим ( S ), сократив его (при ( S > 0 )):
[
\frac{1}{v_1} = \frac{1}{2(v_1 - 17)} + \frac{1}{2 \cdot 102}
]
Умножим все части уравнения на ( 2v_1(v_1 - 17) \cdot 102 ), чтобы избавиться от дробей. Получаем:
[
2 \cdot 102(v_1 - 17) = v_1 \cdot 102 + v_1 (v_1 - 17)
]
Раскроем скобки:
[
204(v_1 - 17) = 102v_1 + v_1^2 - 17v_1
]
[
204v_1 - 3468 = v_1^2 + 85v_1
]
Переносим все в одну сторону:
[
v_1^2 + 85v_1 - 204v_1 + 3468 = 0
]
[
v_1^2 - 119v_1 + 3468 = 0
]
Решим квадратное уравнение:
Используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-119)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3468
]
[
D = 14161 - 13872 = 289
]
Теперь найдем корни:
[
v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{119 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{119 \pm 17}{2}
]
Корни:
[
v_1 = \frac{136}{2} = 68 \quad \text{(не подходит, так как } v_1 < 65 \text{)} \
v_1 = \frac{102}{2} = 51
]
Ответ:
Скорость первого автомобилиста равна ( 51 \text{ км/ч} ).
