А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 17…

Решим задачу шаг за шагом.

Обозначим переменные:

• Пусть скорость первого автомобилиста (которая при этом меньше 65 км/ч) будет равна \( v_1 \) км/ч.
• Скорость второго автомобилиста на первой половине пути (меньше на 17 км/ч) будет равна \( v_1 - 17 \) км/ч.
• Скорость второго автомобилиста на второй половине пути равна 102 км/ч.

Обозначим расстояние:

• Пусть общее расстояние от точки А до точки В равно \( S \) км.
• Тогда первая половина пути равна \( \frac{S}{2} \) км.

Время в пути для первого автомобилиста:

Первый автомобилист проезжает всё расстояние \( S \) с постоянной скоростью \( v_1 \). Время, затраченное первым автомобилистом, будет равно: \[ t_1 = \frac{S}{v_1} \]

Время в пути для второго автомобилиста:

Время, затраченное вторым автомобилистом, составляется из двух частей:

1. Для первой половины пути: \[ t_{2,1} = \frac{\frac{S}{2}}{v_1 - 17} \]
2. Для второй половины пути: \[ t_{2,2} = \frac{\frac{S}{2}}{102} \]

Суммарное время для второго автомобилиста: \[ t_2 = t_{2,1} + t_{2,2} = \frac{\frac{S}{2}}{v_1 - 17} + \frac{\frac{S}{2}}{102} \]

Из условия задачи известно, что оба автомобилиста прибыли одновременно: \[ t_1 = t_2 \] То есть: \[ \frac{S}{v_1} = \frac{\frac{S}{2}}{v_1 - 17} + \frac{\frac{S}{2}}{102} \]

Упростим уравнение:

Сначала выразим \( S \), сократив его (при \( S > 0 \)): \[ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{2(v_1 - 17)} + \frac{1}{2 \cdot 102} \]

Умножим все части уравнения на \( 2v_1(v_1 - 17) \cdot 102 \), чтобы избавиться от дробей. Получаем: \[ 2 \cdot 102(v_1 - 17) = v_1 \cdot 102 + v_1 (v_1 - 17) \]

Раскроем скобки: \[ 204(v_1 - 17) = 102v_1 + v_1^2 - 17v_1 \] \[ 204v_1 - 3468 = v_1^2 + 85v_1 \]

Переносим все в одну сторону: \[ v_1^2 + 85v_1 - 204v_1 + 3468 = 0 \] \[ v_1^2 - 119v_1 + 3468 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-119)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3468 \] \[ D = 14161 - 13872 = 289 \]

Теперь найдем корни: \[ v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{119 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{119 \pm 17}{2} \] Корни: \[ v_1 = \frac{136}{2} = 68 \quad \text{(не подходит, так как } v_1 < 65 \text{)} \\ v_1 = \frac{102}{2} = 51 \]

Ответ:
Скорость первого автомобилиста равна \( 51 \text{ км/ч} \).