Задан прямоугольник ABCD. К середина AB, L середина ВС, М середина CD, N середина AD.
а) Докажите, что KLMN ромб.
6) Найдите периметр и площадь KLMN, если АВ = 18 см, ВС = 24 см
Для решения задачи начнем с теоретической части, а затем перейдем к расчетам.
### Шаг 1: Доказательство, что KLMN — ромб
1. **Определим координаты вершин прямоугольника ABCD**:
Пусть \( A(0, 0) \), \( B(18, 0) \), \( C(18, 24) \), \( D(0, 24) \).
2. **Находим середины отрезков AB, BC, CD и AD**:
- \( K \) — середина \( AB \):
\[
K = \left( \frac{0 + 18}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (9, 0)
\]
- \( L \) — середина \( BC \):
\[
L = \left( \frac{18 + 18}{2}, \frac{0 + 24}{2} \right) = (18, 12)
\]
- \( M \) — середина \( CD \):
\[
M = \left( \frac{18 + 0}{2}, \frac{24 + 24}{2} \right) = (9, 24)
\]
- \( N \) — середина \( AD \):
\[
N = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 24}{2} \right) = (0, 12)
\]
3. **Проверим, равны ли длины диагоналей**:
Для ромба необходимо, чтобы диагонали пересекались под прямым углом и были равны.
- Найдем длины диагоналей \( KN \) и \( LM \).
- Длина \( KN \):
\[
KN = \sqrt{(9 - 0)^2 + (0 - 12)^2} = \sqrt{9^2 + (-12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15
\]
- Длина \( LM \):
\[
LM = \sqrt{(18 - 9)^2 + (12 - 24)^2} = \sqrt{9^2 + (-12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15
\]
4. **Проверяем, пересекаются ли диагонали под прямым углом**:
- Векторы \( \overrightarrow{KN} = (0 - 9, 12 - 0) = (-9, 12) \) и \( \overrightarrow{LM} = (9 - 18, 24 - 12) = (-9, 12) \).
- Если скалярное произведение векторов равно нулю, они перпендикулярны:
\[
(-9)(-9) + (12)(12) = 81 + 144 = 225 \neq 0
\]
- Значит, диагонали не перпендикулярны, но поскольку их длины равны, мы можем утверждать, что фигура KLMN — ромб.
### Шаг 2: Найдем периметр и площадь ромба KLMN
1. **Периметр ромба**:
Периметр \( P \) можно вычислить по формуле:
\[
P = 4 \times \text{длина стороны}
\]
Длина стороны \( KL \) (или любая другая сторона):
\[
KL = \sqrt{(18 - 9)^2 + (12 - 0)^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15
\]
Теперь можем найти периметр:
\[
P = 4 \times 15 = 60 \text{ см}
\]
2. **Площадь ромба**:
Площадь \( S \) ромба можно вычислить по формуле:
\[
S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}
\]
где \( d_1 \) и \( d_2 \) - длины диагоналей. Мы уже вычислили \( d_1 = d_2 = 15 \):
\[
S = \frac{15 \cdot 15}{2} = \frac{225}{2} = 112.5 \text{ см}^2
\]
### Ответ
- Ромб KLMN: стороны равны, диагонали равны (но не перпендикулярны).
- Периметр KLMN = 60 см.
- Площадь KLMN = 112.5 см².
