61/64-(7/12×5/14)×(13/16+1/2)

Давайте разберем задачу шаг за шагом. У нас есть следующее выражение: \[ 61/64 - \left(\frac{7}{12} \times \frac{5}{14}\right) \times \left(\frac{13}{16} + \frac{1}{2}\right) \] ### Шаг 1: Упростим выражение в скобках Сначала нужно вычислить \(\frac{7}{12} \times \frac{5}{14}\). #### Умножение дробей: Чтобы умножить дроби, просто умножаем числители и знаменатели: \[ \frac{7 \times 5}{12 \times 14} = \frac{35}{168} \] Теперь упростим \(\frac{35}{168}\). Найдем наибольший общий делитель (НОД) 35 и 168. - 35 = 5 × 7 - 168 = 2 × 2 × 2 × 3 × 7 Таким образом, НОД(35, 168) = 7. Теперь делим числитель и знаменатель на 7: \[ \frac{35 \div 7}{168 \div 7} = \frac{5}{24} \] Теперь мы нашли, что: \[ \frac{7}{12} \times \frac{5}{14} = \frac{5}{24} \] ### Шаг 2: Упростим вторую часть выражения \(\left(\frac{13}{16} + \frac{1}{2}\right)\) Для сложения дробей, нужно сначала привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 16 и 2 будет 16. Переписываем \(\frac{1}{2}\) с учетом общего знаменателя: \[ \frac{1}{2} = \frac{8}{16} \] Теперь можем сложить дроби: \[ \frac{13}{16} + \frac{8}{16} = \frac{21}{16} \] ### Шаг 3: Умножим результаты Теперь у нас есть: \[ \frac{5}{24} \times \frac{21}{16} \] Умножаем дроби: \[ \frac{5 \times 21}{24 \times 16} = \frac{105}{384} \] ### Шаг 4: Вычтем из первой части Теперь возвращаемся к исходному выражению: \[ \frac{61}{64} - \frac{105}{384} \] Чтобы выполнить вычитание, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 64 и 384 — это 384. Переписываем \(\frac{61}{64}\): \[ \frac{61}{64} = \frac{61 \times 6}{64 \times 6} = \frac{366}{384} \] Теперь можем вычесть: \[ \frac{366}{384} - \frac{105}{384} = \frac{366 - 105}{384} = \frac{261}{384} \] ### Шаг 5: Упростим, если возможно Теперь упрощаем \(\frac{261}{384}\). Найдем НОД 261 и 384: - 261 = 3 × 87 = 3 × 3 × 29 (четных делителей нет) - 384 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2^5 × 3 НОД(261, 384) = 3. Теперь делим числитель и знаменатель на 3: \[ \frac{261 \div 3}{384 \div 3} = \frac{87}{128} \] ### Ответ Таким образом, окончательный ответ: \[ \frac{87}{128} \]