Симметричную монету подкидывают 16 16 раз. Во сколько раз вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 13…

Чтобы решить данную задачу, воспользуемся формулой для вычисления вероятности события при многократном подбрасывании симметричной монеты. В данном случае, мы ищем вероятность того, что монета выпадет решкой ровно \( k \) раз из \( n \) подбрасываний. Для симметричной монеты вероятность выпадения решки или орла в каждом подбрасывании равна \( \frac{1}{2} \).

Формула для вычисления вероятности

Вероятность того, что монета выпадет решкой ровно \( k \) раз в \( n \) подбрасываниях можно вычислить с помощью биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( P(X = k) \) — вероятность выпадения решки \( k \) раз,
• \( n \) — общее число подбрасываний,
• \( k \) — число успешных исходов (выпадение решки),
• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n - k)!} \),
• \( p \) — вероятность успеха в одном испытании, в нашем случае \( p = \frac{1}{2} \).

Применим формулу к нашей задаче

В данной задаче у нас \( n = 16 \), и мы хотим найти вероятности для \( k = 10 \) и \( k = 13 \).

1. Найдём вероятность для \( k = 10 \)

\[ P(X = 10) = C(16, 10) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6} = C(16, 10) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{16} \]

2. Найдём вероятность для \( k = 13 \)

\[ P(X = 13) = C(16, 13) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{13} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = C(16, 13) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{16} \]

Биномиальные коэффициенты

Теперь вычислим биномиальные коэффициенты:

\[ C(16, 10) = \frac{16!}{10! \cdot (16 - 10)!} = \frac{16!}{10! \cdot 6!} \]

\[ C(16, 13) = \frac{16!}{13! \cdot (16 - 13)!} = \frac{16!}{13! \cdot 3!} \]

Сравнение вероятностей

Теперь можем записать отношение вероятностей:

\[ \frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} = \frac{C(16, 10) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{16}}{C(16, 13) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{16}} = \frac{C(16, 10)}{C(16, 13)} \]

Используя свойства биномиальных коэффициентов, мы знаем, что \( C(n, k) = C(n, n - k) \):

\[ C(16, 10) = C(16, 6) \quad \text{и} \quad C(16, 13) = C(16, 3) \]

Следовательно, отношение вероятностей можно выразить как:

\[ \frac{C(16, 10)}{C(16, 13)} = \frac{C(16, 6)}{C(16, 3)} \]

Используя формулу биномиального коэффициента, получаем:

\[ C(16, 6) = \frac{16!}{6! \cdot 10!}, \quad C(16, 3) = \frac{16!}{3! \cdot 13!} \]

Вычисляем:

\[ \frac{C(16, 6)}{C(16, 3)} = \frac{3! \cdot 13!}{6! \cdot 10!} = \frac{6 \cdot 1}{720 \cdot 1} = \frac{6}{720} = \frac{1}{120} \]

Ответ

Таким образом, отношение вероятности, что монета выпадет решкой ровно 10 раз к вероятности, что она выпадет решкой ровно 13 раз, равно:

\[ \frac{C(16, 10)}{C(16, 13)} = \frac{1}{120} \]

Или, иначе говоря, вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 раз» меньше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 раз» в 120 раз.