Разберём задачу по шагам.
В прямоугольном треугольнике ABC с углом C = 90° у нас есть:
- Высота CM, опущенная на гипотенузу (AB), равна 12 см
- Катет AC равен 24 см
Мы хотим найти величину угла B.
Шаг 1: Найти длину гипотенузы AB
У нас есть формула, która связывает высоту на гипотенузу, катеты треугольника и гипотенузу:
[
h = \frac{a \cdot b}{c}
]
где:
- ( h ) - высота (CM)
- ( a ) - один катет (AC)
- ( b ) - другой катет (BC)
- ( c ) - гипотенуза (AB)
Но сначала нам нужно выразить один из катетов через другие, чтобы использовать эту формулу. Мы представим, что как только мы найдём длину гипотенузы, мы сможем найти второй катет.
Шаг 2: Использовать формулу для высоты:
Так как мы знаем, что ( h = 12 ) см и ( a = 24 ) см, можно записать это уравнение:
[
12 = \frac{24 \cdot b}{c}
]
Отсюда можем выразить ( b ):
[
b = \frac{12c}{24} = \frac{c}{2}
]
Шаг 3: Применение теоремы Пифагора
Теперь, мы можем использовать теорему Пифагора (согласно которой ( c^2 = a^2 + b^2 )), чтобы выразить гипотенузу:
[
c^2 = 24^2 + b^2
]
Подставляем ( b ) из предыдущего этапа:
[
c^2 = 24^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2
]
Шаг 4: Упрощение уравнения
Теперь упростим уравнение:
[
c^2 = 576 + \frac{c^2}{4}
]
Умножим всё на 4, чтобы избавиться от дроби:
[
4c^2 = 2304 + c^2
]
Переносим ( c^2 ) в левую часть:
[
4c^2 - c^2 = 2304 \implies 3c^2 = 2304 \implies c^2 = \frac{2304}{3} \implies c^2 = 768
]
Теперь вычисляем ( c ):
[
c = \sqrt{768} = \sqrt{256 \cdot 3} = 16\sqrt{3}
]
Шаг 5: Найти второй катет BC
Используем отношение, чтобы найти катет BC:
[
b = \frac{16\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}
]
Шаг 6: Нахождение угла B
Теперь мы можем найти величину угла B с помощью тригонометрических функций. Используем синус или косинус:
[
\tan B = \frac{АС}{BC} = \frac{24}{8\sqrt{3}} = 3/\sqrt{3} = \sqrt{3}
]
Теперь находим угол B:
[
B = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60°
]
Ответ
Величина угла B равна 60 градусам.
