решите уравнения через дискриминант а) 3х²-13х+14=0 б)2у²-9у+10=0
Для решения квадратных уравнений через дискриминант, следуем следующему алгоритму:
- Записать уравнение в стандартной форме \( ax^2 + bx + c = 0 \).
- Найти дискриминант \( D \) по формуле \( D = b^2 - 4ac \).
- Проанализировать дискриминант:
- Если \( D > 0 \), то у уравнения два различных корня.
- Если \( D = 0 \), то у уравнения один корень (двукратный).
- Если \( D < 0 \), то у уравнения нет действительных корней.
- Найти корни уравнения по формуле:
- При \( D \geq 0 \): \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \) и \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \).
Теперь решим каждое из уравнений.
а) \( 3x^2 - 13x + 14 = 0 \)
Определяем коэффициенты:
- \( a = 3 \)
- \( b = -13 \)
- \( c = 14 \)
Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 \] \[ D = 169 - 168 = 1 \]
Поскольку \( D > 0 \), у уравнения два различных корня.
Находим корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 \]
Ответ: Корни уравнения: \( x_1 = \frac{7}{3}, \; x_2 = 2 \).
б) \( 2y^2 - 9y + 10 = 0 \)
Определяем коэффициенты:
- \( a = 2 \)
- \( b = -9 \)
- \( c = 10 \)
Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 \] \[ D = 81 - 80 = 1 \]
Поскольку \( D > 0 \), у уравнения два различных корня.
Находим корни: \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \]
Ответ: Корни уравнения: \( y_1 = \frac{5}{2}, \; y_2 = 2 \).
Заключение
Таким образом, мы нашли корни обоих уравнений, используя метод дискриминанта. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
Обсуждение
2 сообщениярешите уравнения свойством коэффициентов. а) 3х² - 7х+4=0 б)5х²-8х+3=0
Для решения квадратных уравнений с помощью свойств коэффициентов, используем следующее:
Если уравнение имеет вид \( ax^2 + bx + c = 0 \), то сумма корней \( S \) и произведение корней \( P \) можно вычислить следующим образом:
- Сумма корней: \( S = -\frac{b}{a} \)
- Произведение корней: \( P = \frac{c}{a} \)
Итак, давайте решим каждое уравнение.
а) \( 3x^2 - 7x + 4 = 0 \)
Определяем коэффициенты:
- \( a = 3 \)
- \( b = -7 \)
- \( c = 4 \)
Находим сумму корней: \[ S = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{3} = \frac{7}{3} \]
Находим произведение корней: \[ P = \frac{c}{a} = \frac{4}{3} \]
Теперь нужно найти корни \( x_1 \) и \( x_2 \), которые соответствуют этим значениям. Поскольку сумма и произведение корней известны, мы можем составить систему: \[ x_1 + x_2 = S = \frac{7}{3} \] \[ x_1 x_2 = P = \frac{4}{3} \]
Решаем систему уравнений. Подставим \( x_2 = \frac{7}{3} - x_1 \) в уравнение произведения: \[ x_1 \left(\frac{7}{3} - x_1\right) = \frac{4}{3} \] \[ \frac{7}{3}x_1 - x_1^2 = \frac{4}{3} \] \[ -x_1^2 + \frac{7}{3}x_1 - \frac{4}{3} = 0 \] Умножим на -3: \[ 3x_1^2 - 7x_1 + 4 = 0 \]
Находим корни факторизацией или решением квадратного уравнения. Пробуем разбить на множители.
К корням \( x_1 = 4/3 \) и \( x_2 = 1 \) (фактические значения: после проб и ошибок).
Ответ: \( x_1 = 4/3, \; x_2 = 1 \).
б) \( 5x^2 - 8x + 3 = 0 \)
Определяем коэффициенты:
- \( a = 5 \)
- \( b = -8 \)
- \( c = 3 \)
Находим сумму корней: \[ S = -\frac{b}{a} = -\frac{-8}{5} = \frac{8}{5} \]
Находим произведение корней: \[ P = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} \]
Составляем систему уравнений: \[ x_1 + x_2 = S = \frac{8}{5} \] \[ x_1 x_2 = P = \frac{3}{5} \]
Решаем систему уравнений. Подставив \( x_2 = \frac{8}{5} - x_1 \) в произведение: \[ x_1 \left(\frac{8}{5} - x_1\right) = \frac{3}{5} \] \[ \frac{8}{5} x_1 - x_1^2 = \frac{3}{5} \] Умножим на 5: \[ 8x_1 - 5x_1^2 = 3 \] Приведём уравнение к стандартному виду: \[ 5x_1^2 - 8x_1 + 3 = 0 \]
Находим корни с помощью теоремы Виета или дискриминанта. Получаем фактические значения \( x_1 = \frac{3}{5}, \; x_2 = 1 \).
Ответ: \( x_1 = \frac{3}{5}, \; x_2 = 1 \).
Таким образом, мы нашли корни обоих уравнений, используя свойства коэффициентов. Если у вас будут дополнительные вопросы, не стесняйтесь обращаться!
