Арман покупает цветы маме на день рождения. Ему надо составить букет из трёх тюльпанов, выбрав из четырех цветков: красного, жёлтого, розового, фиолетового. Сколько различных букетов Арман может составить?

Чтобы решать эту задачу, нам нужно определить, сколько различных комбинаций тюльпанов Арман может составить, когда он выбирает три цветка из заданных четырех. 1. **Цветы, которые у нас есть:** - Красный (К) - Жёлтый (Ж) - Розовый (Р) - Фиолетовый (Ф) 2. **Количество тюльпанов в букете:** Арман собирается составить букет из трех тюльпанов. Это значит, что он может выбрать три тюльпана из четырех доступных вариантов. 3. **Комбинации с повторениями:** Поскольку у нас есть возможность выбрать тюльпаны одного и того же цвета (например, три красных тюльпана), мы будем использовать формулу для вычисления комбинаций с повторениями. Формула для нахождения количества способов выбрать \( r \) объектов из \( n \) с повторениями выглядит так: \[ C(n+r-1, r) \] где \( C \) — это комбинация, \( n \) — количество различных объектов (в данном случае 4 цвета), \( r \) — количество объектов, которые мы выбираем (в данном случае 3 тюльпана). 4. **Применение формулы:** Подставим значения в формулу: - \( n = 4 \) (цвета тюльпанов) - \( r = 3 \) (количество тюльпанов) Тогда мы получим: \[ C(4+3-1, 3) = C(6, 3) \] 5. **Вычисление C(6, 3):** Формула для расчёта сочетаний выглядит следующим образом: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Подставим наши значения: \[ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} \] Разложим факториалы: \[ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \] \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \] Подставим значения: \[ C(6, 3) = \frac{720}{6 \times 6} = \frac{720}{36} = 20 \] Итак, **Арман может составить 20 различных букетов** тюльпанов, выбирая из четырех доступных цветов.