Для решения задачи о вероятности элементарного события, благоприятствующего выпадению 3 или 5 очков ровно 3 раза при четырехкратном подбрасывании игральной кости, мы можем использовать формулу биномиального распределения.
Шаг 1: Определим вероятность события
При подбрасывании стандартной игральной кости есть 6 возможных исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Нам интересуют только события, когда выпадает 3 или 5.
Вероятность выпадения 3 или 5:
[
P(3 \cup 5) = P(3) + P(5) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
]
Вероятность того, что не выпадет ни 3, ни 5 (то есть выпадет 1, 2, 4 или 6):
[
P(\text{не 3 и не 5}) = 1 - P(3 \cup 5) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
]
Шаг 2: Используем формулу биномиального распределения
Мы хотим узнать, какова вероятность выпадения 3 или 5 ровно 3 раза при 4 подбрасываниях. Обозначим:
- ( n = 4 ) (количество подбрасываний)
- ( k = 3 ) (количество благоприятных исходов, которые нам нужны)
- ( p = \frac{1}{3} ) (вероятность успеха — выпадение 3 или 5)
- ( q = \frac{2}{3} ) (вероятность неуспеха — выпадение любого другого числа)
Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где ( C(n, k) ) — это биномиальный коэффициент, который считается как:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Шаг 3: Подсчитаем необходимые значения
Биномиальный коэффициент:
[
C(4, 3) = \frac{4!}{3! (4-3)!} = \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 1!} = 4
]
Подставим значения в формулу:
[
P(X = 3) = C(4, 3) \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{4-3}
]
[
P(X = 3) = 4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^1
]
[
P(X = 3) = 4 \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{2}{3}
]
[
P(X = 3) = 4 \cdot \frac{2}{81} = \frac{8}{81}
]
Ответ
Вероятность того, что при четырехкратном подбрасывании игральной кости 3 или 5 выпадут ровно 3 раза, составляет (\frac{8}{81}).
