В треугольнике  M N K MNK проведена биссектриса  M R MR.  M Q MQ — биссектриса треугольника  M R K MRK. Чему равен угол  R M Q RMQ, если  ∠ N M K = 56 ° ∠NMK=56°?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать свойства биссектрис и свойства углов в треугольниках. Давайте разберем задачу шаг за шагом. 1. **Определим известные данные:** - Угол \( \angle N MK = 56^\circ \). - \( MR \) — биссектриса угла \( M \). - \( MQ \) — биссектриса угла \( MRK \). 2. **Найдем угол \( \angle MNR \) и \( \angle MRK \):** Поскольку \( MR \) является биссектрисой угла \( \angle NMK \), то угол \( \angle NMR \) будет равен половине угла \( \angle NMK \): \[ \angle NMR = \frac{1}{2} \cdot \angle NMK = \frac{1}{2} \cdot 56^\circ = 28^\circ. \] Обозначим угол \( \angle MKN \) как \( x \). В треугольнике \( MNK \) сумма углов равна \( 180^\circ \): \[ \angle NMK + \angle MKN + \angle KMN = 180^\circ. \] То есть: \[ 56^\circ + x + 28^\circ = 180^\circ. \] После упрощения получаем: \[ x + 84^\circ = 180^\circ, \] а значит: \[ x = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ. \] Таким образом, угол \( \angle MKN = 96^\circ \). 3. **Найдем угол \( \angle MRK \):** Так как \( MR \) — биссектриса, мы можем обе части угла \( \angle MRK \) выразить как: \[ \angle MRP + \angle PRK = \angle MRK. \] Поскольку \( \triangle MRK \) — треугольник, сумма его углов также равна \( 180^\circ \): \[ \angle M + \angle R + \angle K = 180^\circ. \] Следовательно, угол \( \angle MRK = \angle M + \angle K = 28^\circ + 96^\circ = 124^\circ \). 4. **Наконец, найдем угол \( \angle RMQ \):** Теперь, когда мы знаем, что угол \( \angle MRK = 124^\circ \), мы можем найти угол \( \angle RMQ \), так как он также будет равен половине угла \( \angle MRK \): \[ \angle RMQ = \frac{1}{2} \cdot \angle MRK = \frac{1}{2} \cdot 124^\circ = 62^\circ. \] Таким образом, угол \( \angle RMQ \) равен \( 62^\circ \). **Ответ:** \[ \angle RMQ = 62^\circ. \]