Чтобы определить, имеет ли квадратный трёхчлен корни, мы можем воспользоваться дискриминантом, который рассчитывается по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a ), ( b ) и ( c ) — коэффициенты квадратного трёхчлена в общем виде ( ax^2 + bx + c ). Корни уравнения зависят от значения дискриминанта:
- Если ( D > 0 ), то уравнение имеет два различных действительных корня.
- Если ( D = 0 ), то уравнение имеет один (двойной) действительный корень.
- Если ( D < 0 ), то уравнение не имеет действительных корней.
Теперь давайте рассчитаем дискриминант для каждого из предложенных квадратных трёхчленов:
a) ( 5x^2 - 8x + 3 )
- ( a = 5 )
- ( b = -8 )
- ( c = 3 )
Напомним формулу дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac
]
Подставим значения:
[
D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4
]
Так как ( D > 0 ), у этого квадратного трёхчлена есть два различных корня.
б) ( -7x^2 + 6x - 2 )
- ( a = -7 )
- ( b = 6 )
- ( c = -2 )
Рассчитаем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac
]
Подставим значения:
[
D = 6^2 - 4 \cdot (-7) \cdot (-2) = 36 - 56 = -20
]
Так как ( D < 0 ), у этого трёхчлена нет действительных корней.
6) ( 9x^2 + 6x + 1 )
- ( a = 9 )
- ( b = 6 )
- ( c = 1 )
Теперь посчитаем дискриминант:
[
D = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0
]
Так как ( D = 0 ), у этого квадратного трёхчлена есть один (двойной) корень.
г) ( -x^2 + 5x - 3 )
- ( a = -1 )
- ( b = 5 )
- ( c = -3 )
Посчитаем дискриминант:
[
D = 5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-3) = 25 - 12 = 13
]
Так как ( D > 0 ), у этого квадратного трёхчлена есть два различных корня.
Итоги:
- ( 5x^2 - 8x + 3 ) — 2 различных корня.
- ( -7x^2 + 6x - 2 ) — нет действительных корней.
- ( 9x^2 + 6x + 1 ) — 1 двойной корень.
- ( -x^2 + 5x - 3 ) — 2 различных корня.
Если нужно найти конкретные значения корней, можем использовать формулу корней квадратного уравнения:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Если нужно, можем рассчитать корни для тех трёхчленов, которые имеют корни.
