Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если: а) АВ = 10 см, ВС = DA = 13 см, CD = 20 см; б) <C = LD = = 60°, AB = BC = 8 см; в) <C = LD = 45°, AB = 6 см, ВС = 9V2 см.

Для нахождения площади трапеции можно использовать формулу:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]

где \( S \) — площадь трапеции, \( a \) и \( b \) — длины оснований, а \( h \) — высота трапеции.

a) Дано:

• \( AB = 10 \) см
• \( BC = DA = 13 \) см
• \( CD = 20 \) см

Для нахождения высоты \( h \) можно использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту от вершин B и D, которые соединяются с основанием CD.

Сначала найдем длины отрезков, на которые CD делится, опуская перпендикуляры из точек B и D. Обозначим длины отрезков на основании CD как \( x \) (слева от точки B) и \( y \) (справа от точки D). Мы знаем, что:

\[ x + 10 + y = 20 \] \[ x + y = 10 \]

Также по теореме Пифагора имеем:

1. \( h^2 + x^2 = 13^2 \)
2. \( h^2 + y^2 = 13^2 \)

Решим эти два уравнения. Из первого уравнения:

\[ h^2 = 169 - x^2 \]

Из второго уравнения:

\[ h^2 = 169 - y^2 \]

Равняем оба выражения:

\[ 169 - x^2 = 169 - y^2 \]

Следовательно:

\[ x^2 = y^2 \]

Из этого упростим:

\[ x = y \]

Мы знаем, что \( x + y = 10 \), значит \( x=y=5 \).

Теперь подставим \( x \) в уравнение для высоты:

\[ h^2 + 5^2 = 169 \] \[ h^2 + 25 = 169 \] \[ h^2 = 144 \] \[ h = 12 \text{ см} \]

Теперь можем найти площадь:

\[ S = \frac{(10 + 20) \cdot 12}{2} = \frac{30 \cdot 12}{2} = 180 \text{ см}^2 \]

b) Дано:

• \( \angle C = \angle D = 60° \)
• \( AB = BC = 8 \) см

Для этого случая можно также использовать теорему о высоте. Высота \( h \) можно найти, используя тригонометрию:

\[ h = BC \cdot \sin 60° = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см} \]

Длина основания CD можно найти с использованием свойства углов и длины оснований (так как \( \angle C = \angle D\), они равны): \[ CD = 2(AB) = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см} \] Теперь находим площадь:

\[ S = \frac{(8 + 16) \cdot 4\sqrt{3}}{2} = \frac{24 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 48\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

c) Дано:

• \( \angle C = \angle D = 45° \)
• \( AB = 6 \text{ см} \)
• \( BC = 9\sqrt{2} \text{ см} \)

Поскольку углы равны, можем использовать аналогичный метод:

\[ h = BC \cdot \sin 45° = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9 \text{ см} \]

Теперь, чтобы найти длину \( CD \):

\[ CD = AB + 2 \cdot (BC \cdot \cos 45°) \] \[ CD = 6 + 2 \cdot (9\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) = 6 + 18 = 24 \text{ см} \]

Теперь можем найти площадь:

\[ S = \frac{(6 + 24) \cdot 9}{2} = \frac{30 \cdot 9}{2} = 135 \text{ см}^2 \]

Ответы:

a) \( 180 \text{ см}^2 \)
b) \( 48\sqrt{3} \text{ см}^2 \)
c) \( 135 \text{ см}^2 \)