Чтобы найти вероятность того, что хотя бы одному ученику из четырех попадется его собственная работа, удобно воспользоваться принципом включения-исключения или вычислить сначала вероятность противоположного события, то есть вероятность того, что ни одному из учеников не попадется его собственная работа.
Обозначим количество учеников как ( n = 4 ). Количество всех возможных перестановок (раздач) работ этих учеников равно ( 4! = 24 ).
Теперь обратим внимание на количество перестановок, в которых ни одному ученику не достается его работа. Это число называется числом дерangement, и для ( n ) оно обозначается как ( !n ).
Число деренджментов можно вычислить по формуле:
[
!n = n! \sum_{i=0}^{n} \frac{(-1)^i}{i!}
]
Для ( n = 4 ):
[
!4 = 4! \left( \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right) = 24 \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)
]
Упрощаем:
[
= 24 \left( 0 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)
]
[
= 24 \left( \frac{12}{24} - \frac{4}{24} + \frac{1}{24} \right) = 24 \left( \frac{9}{24} \right) = 9
]
Таким образом, есть 9 деренджментов для 4 учеников. Теперь вероятность того, что ни одному из учеников не досталась его собственная работа, будет равна:
[
P(\text{ни одному}) = \frac{!4}{4!} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}
]
Следовательно, вероятность того, что хотя бы одному из учеников досталась его работа, будет равна:
[
P(\text{хотя бы одному}) = 1 - P(\text{ни одному}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}
]
Таким образом, вероятность того, что хотя бы одному из учеников попадётся его собственная работа, составляет ( \frac{5}{8} ).
