Учитель дал четверым десятиклассникам контрольную,а потом собрал работы и случайным образом раздал их обратно ,чтобы ученики проверили ее друг у друга С какой вероятностью…

Чтобы найти вероятность того, что хотя бы одному ученику из четырех попадется его собственная работа, удобно воспользоваться принципом включения-исключения или вычислить сначала вероятность противоположного события, то есть вероятность того, что ни одному из учеников не попадется его собственная работа.

Обозначим количество учеников как \( n = 4 \). Количество всех возможных перестановок (раздач) работ этих учеников равно \( 4! = 24 \).

Теперь обратим внимание на количество перестановок, в которых ни одному ученику не достается его работа. Это число называется числом дерangement, и для \( n \) оно обозначается как \( !n \).

Число деренджментов можно вычислить по формуле: \[ !n = n! \sum_{i=0}^{n} \frac{(-1)^i}{i!} \]

Для \( n = 4 \): \[ !4 = 4! \left( \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right) = 24 \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right) \]

Упрощаем: \[ = 24 \left( 0 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right) \] \[ = 24 \left( \frac{12}{24} - \frac{4}{24} + \frac{1}{24} \right) = 24 \left( \frac{9}{24} \right) = 9 \]

Таким образом, есть 9 деренджментов для 4 учеников. Теперь вероятность того, что ни одному из учеников не досталась его собственная работа, будет равна: \[ P(\text{ни одному}) = \frac{!4}{4!} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8} \]

Следовательно, вероятность того, что хотя бы одному из учеников досталась его работа, будет равна: \[ P(\text{хотя бы одному}) = 1 - P(\text{ни одному}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} \]

Таким образом, вероятность того, что хотя бы одному из учеников попадётся его собственная работа, составляет \( \frac{5}{8} \).