Докажите, что последовательность и найдите её наибольший член. a_{n} = 10/(n ^ 2 - 10n + 27) является ограниченной

Чтобы доказать, что последовательность \( a_n = \frac{10}{n^2 - 10n + 27} \) является ограниченной, а также найти её наибольший член, следуем следующим шагам.

Шаг 1: Анализ знаменателя

Сначала рассмотрим знаменатель \( n^2 - 10n + 27 \). Мы можем упростить его для оценки:

\[ n^2 - 10n + 27 = (n - 5)^2 + 2 \]

Объяснение: Мы привели квадратичное выражение к квадрату с добавлением константы (в данном случае, 2). Это преобразование важно, потому что оно показывает, что выражение \( (n - 5)^2 \) всегда не отрицательное, и следовательно, \( n^2 - 10n + 27 \) всегда больше или равно 2.

Шаг 2: Оценка последовательности

Теперь, зная, что знаменатель всегда больше или равен 2, мы можем сделать вывод о последовательности:

\[ a_n = \frac{10}{n^2 - 10n + 27} \leq \frac{10}{2} = 5 \]

Таким образом, последовательность \( a_n \) ограничена сверху числом 5.

Шаг 3: Найти наибольший член

Чтобы найти, достигает ли последовательность максимального значения, оценим, когда \( n^2 - 10n + 27 \) достигает минимума. Минимум квадратичной функции достигается в вершине, которую можно найти по формуле:

\[ n_{\text{min}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5 \]

Теперь подставим \( n = 5 \) в выражение для \( a_n \):

\[ a_5 = \frac{10}{5^2 - 10 \cdot 5 + 27} = \frac{10}{25 - 50 + 27} = \frac{10}{2} = 5 \]

Шаг 4: Проверка других значений \( n \)

Теперь необходимо убедиться, что для других значений \( n \) значение \( a_n \) меньше 5. Мы рассмотрим, например, \( n = 1, 2, 3, 4, 6, 7 \):

• \( n=1: a_1 = \frac{10}{1^2 - 10 \cdot 1 + 27} = \frac{10}{1 - 10 + 27} = \frac{10}{18} \approx 0.56 \)
• \( n=2: a_2 = \frac{10}{2^2 - 10 \cdot 2 + 27} = \frac{10}{4 - 20 + 27} = \frac{10}{11} \approx 0.91 \)
• \( n=3: a_3 = \frac{10}{3^2 - 10 \cdot 3 + 27} = \frac{10}{9 - 30 + 27} = \frac{10}{6} \approx 1.67 \)
• \( n=4: a_4 = \frac{10}{4^2 - 10 \cdot 4 + 27} = \frac{10}{16 - 40 + 27} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \)
• \( n=6: a_6 = \frac{10}{6^2 - 10 \cdot 6 + 27} = \frac{10}{36 - 60 + 27} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \)
• \( n=7: a_7 = \frac{10}{7^2 - 10 \cdot 7 + 27} = \frac{10}{49 - 70 + 27} = \frac{10}{6} \approx 1.67 \)

Как видно, для всех \( n \) значение \( a_n < 5 \).

Заключение

1. Последовательность \( a_n \) является ограниченной, и её верхняя граница — 5.
2. Наибольший член последовательности достигается при \( n = 5 \) и равен 5.

Таким образом, мы доказали, что последовательность ограниченная, и нашли её наибольший член.