Чтобы решить задачу, давайте разберем, как составить квадратное уравнение с заданными условиями.
Условия к задаче
- Сумма корней равна 6.
- Произведение корней равно 4.
Шаг 1: Формула квадратного уравнения
Квадратное уравнение имеет вид:
[ ax^2 + bx + c = 0 ]
Можно использовать формулу Вьетта, которая устанавливает связь между коэффициентами квадратного уравнения и корнями (обозначим корни как ( x_1 ) и ( x_2 )):
- Сумма корней ( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} )
- Произведение корней ( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} )
Шаг 2: Применим условия
Согласно условиям задачи:
- ( x_1 + x_2 = 6 )
- ( x_1 \cdot x_2 = 4 )
Мы можем взять ( a = 1 ) (это упрощает уравнение до стандартного вида), тогда:
- ( -b = 6 ) ( \Rightarrow b = -6 )
- ( c = 4 )
Шаг 3: Составляем уравнение
Подставим значения ( a ), ( b ) и ( c ) в уравнение:
[
x^2 - 6x + 4 = 0
]
Шаг 4: Проверка решения
Теперь мы можем проверить правильность:
- Сумма корней:
[
x_1 + x_2 = 6
]
- Произведение корней:
[
x_1 \cdot x_2 = 4
]
Это уравнение удовлетворяет всем условиям задачи.
Шаг 5: Решение уравнения (если необходимо)
Если вы хотите найти сами корни, можно использовать формулу для корней квадратного уравнения:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Подставляя известные значения:
[
x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2}
]
[
= \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}
]
Ответ
Таким образом, квадратное уравнение, сумма корней которого равна 6, а произведение — 4:
[
x^2 - 6x + 4 = 0
]
Корни этого уравнения: ( 3 + \sqrt{5} ) и ( 3 - \sqrt{5} ).
