Чтобы решить задачу, начнем с анализа функции ( y = \frac{1 - 2x}{2x^2 - x} ), и затем определим, при каких значениях ( k ) эта функция имеет общую точку с графиком ( y = k ).
Шаг 1: Определение общих точек
Общая точка графиков двух функций ( y = \frac{1 - 2x}{2x^2 - x} ) и ( y = k ) происходит, когда:
[
\frac{1 - 2x}{2x^2 - x} = k.
]
Для нахождения общих точек переместим все выражения в одну часть уравнения:
[
1 - 2x = k(2x^2 - x).
]
Раскроем скобки:
[
1 - 2x = 2kx^2 - kx.
]
Перепишем уравнение в стандартной форме:
[
2kx^2 - kx + 2x - 1 = 0.
]
Это квадратное уравнение относительно ( x ).
Шаг 2: Исследование условий о количестве корней
Для того чтобы функция ( y ) имела с прямой ( y = k ) общую точку (то есть одну общую точку), данное квадратное уравнение должно иметь ровно один корень. Это происходит, когда дискриминант ( D ) равен нулю.
Форма квадратного уравнения:
[
Ax^2 + Bx + C = 0,
]
где:
- ( A = 2k ),
- ( B = (-k + 2) ),
- ( C = -1 ).
Дискриминант рассчитывается по формуле:
[
D = B^2 - 4AC.
]
Подставим наши значения:
[
D = (-k + 2)^2 - 4 \cdot (2k) \cdot (-1).
]
Решим это уравнение:
[
D = (k - 2)^2 + 8k.
]
Теперь упростим:
[
D = k^2 - 4k + 4 + 8k,
]
[
D = k^2 + 4k + 4.
]
Шаг 3: Найдем условия для ( D = 0 )
Для нахождения значений ( k ), при которых ( D = 0 ), решаем уравнение:
[
k^2 + 4k + 4 = 0.
]
Это можно записать как:
[
(k + 2)^2 = 0.
]
Таким образом, ( k + 2 = 0 ) приводит к:
[
k = -2.
]
Заключение
Функция ( y = \frac{1 - 2x}{2x^2 - x} ) имеет с прямой ( y = k ) общую точку, когда ( k = -2 ).
