√3 * sin^2 x + sin x * cos x = 0

Давайте решим уравнение \( \sqrt{3} \cdot \sin^2 x + \sin x \cdot \cos x = 0 \) шаг за шагом. ### Шаг 1: Вынесение общего множителя Мы можем начать с того, чтобы вынести общий множитель. Заметим, что в обоих слагаемых присутствует \(\sin x\). Вынесем его: \[ \sin x (\sqrt{3} \sin x + \cos x) = 0 \] ### Шаг 2: Нахождение корней Теперь у нас есть произведение двух множителей, которое равно нулю. По свойству нуля, это означает, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. #### Первый множитель: \[ \sin x = 0 \] #### Второй множитель: \[ \sqrt{3} \sin x + \cos x = 0 \] ### Шаг 3: Решение первого уравнения Для уравнения \(\sin x = 0\) решения находятся в точках, где синус равен нулю: \[ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] ### Шаг 4: Решение второго уравнения Теперь решим уравнение \(\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0\). Перепишем его: \[ \sqrt{3} \sin x = -\cos x \] Мы можем поделить обе стороны на \(\cos x\) (при условии, что \(\cos x \neq 0\)): \[ \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \] ### Шаг 5: Нахождение углов Значение \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) соответствует углам, для которых тангенс равен \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\). Это происходит в третьем и четвёртом квадрантах: \[ x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{11\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Шаг 6: Общие решения Теперь объединим все решения. У нас есть: 1. \( x = n\pi \) (от первого множителя) 2. \( x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \) и \( x = \frac{11\pi}{6} + k\pi \) (от второго множителя) ### Итог: Таким образом, общее решение нашего уравнения: \[ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{5\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{11\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Это все решения уравнения \( \sqrt{3} \cdot \sin^2 x + \sin x \cdot \cos x = 0 \).