√3 * sin^2 x + sin x * cos x = 0
Давайте решим уравнение \( \sqrt{3} \cdot \sin^2 x + \sin x \cdot \cos x = 0 \) шаг за шагом.
Шаг 1: Вынесение общего множителя
Мы можем начать с того, чтобы вынести общий множитель. Заметим, что в обоих слагаемых присутствует \(\sin x\). Вынесем его:
\[ \sin x (\sqrt{3} \sin x + \cos x) = 0 \]
Шаг 2: Нахождение корней
Теперь у нас есть произведение двух множителей, которое равно нулю. По свойству нуля, это означает, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю.
Первый множитель:
\[ \sin x = 0 \]
Второй множитель:
\[ \sqrt{3} \sin x + \cos x = 0 \]
Шаг 3: Решение первого уравнения
Для уравнения \(\sin x = 0\) решения находятся в точках, где синус равен нулю:
\[ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]
Шаг 4: Решение второго уравнения
Теперь решим уравнение \(\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0\). Перепишем его:
\[ \sqrt{3} \sin x = -\cos x \]
Мы можем поделить обе стороны на \(\cos x\) (при условии, что \(\cos x \neq 0\)):
\[ \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \]
Шаг 5: Нахождение углов
Значение \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) соответствует углам, для которых тангенс равен \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\). Это происходит в третьем и четвёртом квадрантах:
\[ x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{11\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Шаг 6: Общие решения
Теперь объединим все решения. У нас есть:
- \( x = n\pi \) (от первого множителя)
- \( x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \) и \( x = \frac{11\pi}{6} + k\pi \) (от второго множителя)
Итог:
Таким образом, общее решение нашего уравнения:
\[ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{5\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{11\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Это все решения уравнения \( \sqrt{3} \cdot \sin^2 x + \sin x \cdot \cos x = 0 \).
