Для анализа предложений, давайте рассмотрим каждое утверждение:
Предложение 1: "Еще в Михайловском Пушкин тщательно пересматривает свои бумаги и уничтожает наиболее опасные страницы драгоценных записок о выдающихся современниках, которые он вел в продолжение пяти лет."
- Это предложение состоит из главной части и придаточного (которое является ограничительным и отвечает на вопрос "какие страницы?").
- Утверждение неверно. Предложение сложное, но не является сложноподчинённым с придаточным изъяснительным.
Предложение 2: "Поэт боялся, что записи его могут многим повредить, а может, и умножить число жертв."
- Это сложноподчинённое предложение с придаточным изъяснительным, которое начинается с "что".
- Утверждение верно.
Предложение 3: "Царь спросил Пушкина, переменился ли за годы ссылки его образ мыслей и дает ли он слово думать и действовать иначе."
- В этом предложении действительно три грамматические основы: "Царь спросил Пушкина", "образ мыслей переменился", "он дает слово".
- Утверждение верно.
Предложение 4: "Поэт не мог, однако, сделаться другим и по-прежнему вел себя свободно и независимо."
- Это предложение простое, и вводное слово "однако" не осложняет его, а просто вводится в текст.
- Утверждение неверно. Предложение простое.
Предложение 5: "Об этом говорит хотя бы стихотворение «Арион», в котором Пушкин провозглашает свою верность друзьям-декабристам: «Я гимны прежние пою...». "
- Предложение состоит из главного и придаточного, которое является определительным (в котором Пушкин провозглашает...) и действительно содержит цитирование.
- Утверждение верно.
Таким образом, верные утверждения: 2, 3, 5.