Для решения задачи о нахождении вероятности того, что в партии из 10 деталей есть ровно 5 деталей с отклонением от номинала, мы можем использовать биномиальное распределение. Биномиальное распределение описывает количество успешных исходов в серии независимых испытаний.
В нашей задаче мы имеем следующие параметры:
- n (общее количество испытаний) = 10 (количество деталей)
- k (число успешных испытаний) = 5 (количество деталей с отклонением)
- p (вероятность успеха, т.е. вероятность того, что деталь будет с отклонением) = 0.4
- q (вероятность провала) = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6
Формула биномиального распределения
Вероятность того, что в n испытаниях будет ровно k успехов, вычисляется по формуле:
[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} ]
где ( C(n, k) ) — это биномиальный коэффициент, который показывает, сколько существует способов выбрать k успехов из n испытаний, и вычисляется по формуле:
[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} ]
Шаги решения
- Вычисление биномиального коэффициента ( C(10, 5) ):
[
C(10, 5) = \frac{10!}{5! \cdot (10 - 5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252
]
- Вычисление ( p^k ) и ( q^{n-k} ):
[
p^k = (0.4)^5 = 0.4 \times 0.4 \times 0.4 \times 0.4 \times 0.4 = 0.01024
]
[
q^{n-k} = (0.6)^{10 - 5} = (0.6)^5 = 0.6 \times 0.6 \times 0.6 \times 0.6 \times 0.6 = 0.07776
]
- Подставим все в формулу:
Теперь подставим все найденные значения в формулу:
[
P(X = 5) = C(10, 5) \cdot p^5 \cdot q^5 = 252 \cdot 0.01024 \cdot 0.07776
]
- Выполним окончательные вычисления:
Сначала перемножим:
[
P(X = 5) = 252 \cdot 0.01024 \cdot 0.07776 \approx 252 \cdot 0.0007962624 \approx 0.200
]
Таким образом, вероятность того, что в партии есть 5 деталей с отклонением от номинала, составляет примерно 0.200 или 20%.
