Какова вероятность события «мишень будет поражена ровно 3 раза», если стрелок 9 раз стреляет по мишени с вероятностью попадания 0,5 при каждом отдельном выстреле? (Ответ округли…

Для решения задачи о вероятности события «мишень будет поражена ровно 3 раза» при 9 выстрелах с вероятностью попадания 0,5, мы будем использовать формулу биномиального распределения.

Пошаговое решение:

1. Определим параметры задачи:

   • \( n = 9 \) (общее количество выстрелов)
   • \( k = 3 \) (количество попаданий)
   • \( p = 0.5 \) (вероятность попадания в каждом выстреле)
   • \( q = 1 - p = 0.5 \) (вероятность промаха)

2. Используем формулу биномиального распределения: Формула для нахождения вероятности \( P(X = k) \) при биномиальном распределении выглядит следующим образом:

   \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

   где \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:

   \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

3. Вычислим \( C(9, 3) \):

   \[ C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 \]

4. Подставим значения в формулу вероятности:

   \[ P(X = 3) = C(9, 3) \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{9-3} \]

   \[ P(X = 3) = 84 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^6 \]

   \[ P(X = 3) = 84 \cdot (0.5)^9 \]

   \[ (0.5)^9 = \frac{1}{512} \]

   Следовательно,

   \[ P(X = 3) = 84 \cdot \frac{1}{512} = \frac{84}{512} \]

5. Сократим дробь:

   \[ \frac{84}{512} = \frac{21}{128} \]

6. Вычислим значение дроби:

   Теперь вычислим \( \frac{21}{128} \):

   \[ \frac{21}{128} \approx 0.1640625 \]

7. Округлим до тысячных:

   Округляем до тысячных:

   \[ P(X = 3) \approx 0.164 \]

Ответ:

Вероятность того, что мишень будет поражена ровно 3 раза, составляет approximately 0.164.