сравните числа

Для решения задачи сравнения чисел рассмотрим каждый пункт отдельно.

a) Сравните числа \( 3^{\log_3 4} \) и \( \log_3 18 \).

Решение:

1. Упростим первое выражение \( 3^{\log_3 4} \):

   \[ 3^{\log_3 4} = 4 \]

   Это происходит потому, что \( a^{\log_a b} = b \) является свойством логарифмов.

2. Найдём \( \log_3 18 \):

   Разложим 18:

   \[ 18 = 2 \times 3^2 \]

   Используя свойства логарифмов:

   \[ \log_3 18 = \log_3 (2 \times 3^2) = \log_3 2 + \log_3 3^2 = \log_3 2 + 2 \]

3. Сравним выражения:

   Теперь нам нужно сравнить \( 4 \) и \( \log_3 2 + 2 \).

   \( \log_3 2 \) — это число меньшее 1, так как \( 3^0 = 1 \) и \( 3^1 = 3 \). Таким образом:

   \[ \log_3 2 + 2 < 3 \]

   Следовательно, 4 больше, чем \( \log_3 18 \).

Ответ для a) \( 3^{\log_3 4} > \log_3 18 \).

б) Сравните числа \( 18^{100} \) и \( 5^{150} \).

Решение:

1. Возьмём логарифм обеих частей для удобства:

   Рассмотрим \( \log(18^{100}) \) и \( \log(5^{150}) \).

2. Упростим:

   \[ \log(18^{100}) = 100 \cdot \log 18 \] \[ \log(5^{150}) = 150 \cdot \log 5 \]

3. Сравним:

   Нам нужно сравнить \( 100 \cdot \log 18 \) и \( 150 \cdot \log 5 \).

4. Оценим \(\log 18\) и \(\log 5\):

   \[ \log 18 = \log(2 \times 3^2) = \log 2 + 2\log 3 \] \[ \log 5 \]

   Поскольку \(\log 10 = 1\), можем примерно оценить:

   \[ \log 3 \approx 0.477 \] \[ \log 2 \approx 0.301 \]

   Тогда: \[ \log 18 \approx 0.301 + 2 \times 0.477 = 1.255 \]

   Для \(\log 5 \approx 0.699\).

5. Сравним вычисления:

   \[ 100 \times 1.255 = 125.5 \] \[ 150 \times 0.699 = 104.85 \]

   Таким образом:

   \[ 125.5 > 104.85 \]

Ответ для б) \( 18^{100} > 5^{150} \).

Заключение: для обоих пунктов первое число больше второго.