Сравните числа

Для решения задачи сравнения чисел рассмотрим каждый пункт отдельно. ### a) Сравните числа \( 3^{\log_3 4} \) и \( \log_3 18 \). #### Решение: 1. **Упростим первое выражение \( 3^{\log_3 4} \):** \[ 3^{\log_3 4} = 4 \] Это происходит потому, что \( a^{\log_a b} = b \) является свойством логарифмов. 2. **Найдём \( \log_3 18 \):** Разложим 18: \[ 18 = 2 \times 3^2 \] Используя свойства логарифмов: \[ \log_3 18 = \log_3 (2 \times 3^2) = \log_3 2 + \log_3 3^2 = \log_3 2 + 2 \] 3. **Сравним выражения:** Теперь нам нужно сравнить \( 4 \) и \( \log_3 2 + 2 \). \( \log_3 2 \) — это число меньшее 1, так как \( 3^0 = 1 \) и \( 3^1 = 3 \). Таким образом: \[ \log_3 2 + 2 < 3 \] Следовательно, 4 больше, чем \( \log_3 18 \). ### Ответ для a) \( 3^{\log_3 4} > \log_3 18 \). --- ### б) Сравните числа \( 18^{100} \) и \( 5^{150} \). #### Решение: 1. **Возьмём логарифм обеих частей для удобства:** Рассмотрим \( \log(18^{100}) \) и \( \log(5^{150}) \). 2. **Упростим:** \[ \log(18^{100}) = 100 \cdot \log 18 \] \[ \log(5^{150}) = 150 \cdot \log 5 \] 3. **Сравним:** Нам нужно сравнить \( 100 \cdot \log 18 \) и \( 150 \cdot \log 5 \). 4. **Оценим \(\log 18\) и \(\log 5\):** \[ \log 18 = \log(2 \times 3^2) = \log 2 + 2\log 3 \] \[ \log 5 \] Поскольку \(\log 10 = 1\), можем примерно оценить: \[ \log 3 \approx 0.477 \] \[ \log 2 \approx 0.301 \] Тогда: \[ \log 18 \approx 0.301 + 2 \times 0.477 = 1.255 \] Для \(\log 5 \approx 0.699\). 5. **Сравним вычисления:** \[ 100 \times 1.255 = 125.5 \] \[ 150 \times 0.699 = 104.85 \] Таким образом: \[ 125.5 > 104.85 \] ### Ответ для б) \( 18^{100} > 5^{150} \). Заключение: для обоих пунктов первое число больше второго.