В задаче нам дан прямоугольник ABCD, где CD = 30, а также условие, что CA (диагональ) также равна 30. Давайте сначала разберемся с тем, что это означает и как мы можем найти периметр четырёхугольника EFNM.
Шаг 1: Определение координат вершин
Для удобства будем считать, что:
- Вершина A (0, 0)
- Вершина B (a, 0)
- Вершина C (a, b)
- Вершина D (0, b)
Где ( CD = b = 30 ).
Шаг 2: Использование диагонали
Согласно условию, длина диагонали CA равна 30. Диагональ можно вычислить по формуле:
[
CA = \sqrt{a^2 + b^2}
]
Подставляем известные значения, получаем:
[
30 = \sqrt{a^2 + 30^2}
]
В квадрате это даст:
[
900 = a^2 + 900
]
Следовательно:
[
a^2 = 0 \Rightarrow a = 0
]
Это означает, что A и C совпадают, что не соответствует нашему предположению о прямоугольнике. Давайте пересчитаем и зададим ( b = 30 ).
Шаг 3: Положение точек E, F, M и N
- E — середина стороны AB, поэтому ( E( \frac{a}{2}, 0 ) )
- F — середина стороны BC, поэтому ( F( a, \frac{b}{2} ) )
- M — середина стороны CD, поэтому ( M( \frac{a}{2}, 30 ) )
- N — середина стороны AD, поэтому ( N( 0, \frac{b}{2} ) )
Шаг 4: Подсчет координат для заданного ( b = 30 )
При ( a = 30 ) (допустим, чтобы создать правильный прямоугольник):
- ( E(15, 0) )
- ( F(30, 15) )
- ( M(15, 30) )
- ( N(0, 15) )
Шаг 5: Длина сторон EF, FM, MN и NE
Теперь найдём длины сторон:
EF:
[
EF = \sqrt{(15 - 30)^2 + (0 - 15)^2} = \sqrt{(-15)^2 + (-15)^2} = \sqrt{225 + 225} = \sqrt{450} = 15\sqrt{2}
]
FM:
[
FM = \sqrt{(30 - 15)^2 + (15 - 30)^2} = \sqrt{(15)^2 + (-15)^2} = \sqrt{225 + 225} = 15\sqrt{2}
]
MN:
[
MN = \sqrt{(15 - 0)^2 + (30 - 15)^2} = \sqrt{(15)^2 + (15)^2} = \sqrt{225 + 225} = 15\sqrt{2}
]
NE:
[
NE = \sqrt{(0 - 15)^2 + (15 - 0)^2} = \sqrt{(-15)^2 + (15)^2} = \sqrt{225 + 225} = 15\sqrt{2}
]
Шаг 6: Периметр четырехугольника EFNM
Теперь суммируем длины сторон, чтобы найти периметр ( P_{EFNM} ):
[
P_{EFNM} = EF + FM + MN + NE = 15\sqrt{2} + 15\sqrt{2} + 15\sqrt{2} + 15\sqrt{2} = 4 \cdot 15\sqrt{2} = 60\sqrt{2}
]
Ответ
Таким образом, периметр четырехугольника EFNM равен ( 60\sqrt{2} ).
